A lei de Planck descreve adequadamente a radiação de corpo negro através da equação I(lambda, T). Qual é a relação matemática entre I(lambda, T) e R(lambda, T), e lambda max e I(lambda, T) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a Lei de Planck que descreve como um corpo negro emite radiação. O enunciado pede para a gente descobrir a relação matemática entre a intensidade da radiação e , além de como o comprimento de onda onde a intensidade é máxima, , se relaciona com . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre física das radiâncias e a Lei de Wien.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada símbolo representa:
  • : É a intensidade espectral da radiação emitida por um corpo negro em função do comprimento de onda e da temperatura .
  • : Geralmente representa a radiância espectral, que também descreve a distribuição da intensidade da radiação em diferentes comprimentos de onda.
  • : É o comprimento de onda no qual a radiação emitida é máxima para uma dada temperatura .

Passo 3

Agora, vamos ver a Lei de Planck, que nos dá a fórmula para I(lambda, T) = 2pi h c^2lambda^5 cdot 1e^hclambda k T - 1 :
Aqui, é a constante de Planck, é a velocidade da luz, e é a constante de Boltzmann.

Passo 4

A relação entre I(lambda, T) = R(lambda, T) e geralmente é direta, já que ambos descrevem a intensidade da radiação. Na maioria dos contextos, podemos considerar que:
Isso significa que a intensidade espectral é igual à radiância espectral para um corpo negro.

Passo 5

Agora, vamos falar sobre lambdamax T = b e como ele se relaciona com . Isso está ligado à Lei de Wien, que nos diz que o comprimento de onda onde a emissão de radiação é máxima está inversamente relacionado à temperatura:
Onde é a constante de deslocamento de Wien, aproximadamente .

Passo 6

Para encontrar a relação entre e , vamos derivar a fórmula de Planck em relação a , igualar a derivada a zero para encontrar o máximo e resolver para . Isso nos leva à expressão da Lei de Wien mencionada acima.

Resposta

A relação matemática entre lambdamax T = b e é . Além disso, o comprimento de onda onde a intensidade é máxima, , está relacionado à temperatura pela Lei de Wien:
Onde .

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