A lei de Planck descreve adequadamente a radiação de corpo negro através da equação
. Qual é a relação matemática entre
e
, e
e
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a Lei de Planck que descreve como um corpo negro emite radiação. O enunciado pede para a gente descobrir a relação matemática entre a intensidade da radiação
e
, além de como o comprimento de onda onde a intensidade é máxima,
, se relaciona com
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre física das radiâncias e a Lei de Wien.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada símbolo representa:
-
: É a intensidade espectral da radiação emitida por um corpo negro em função do comprimento de onda e da temperatura . -
: Geralmente representa a radiância espectral, que também descreve a distribuição da intensidade da radiação em diferentes comprimentos de onda. -
: É o comprimento de onda no qual a radiação emitida é máxima para uma dada temperatura .
Passo 3
Agora, vamos ver a Lei de Planck, que nos dá a fórmula para
:
Aqui,
é a constante de Planck,
é a velocidade da luz, e
é a constante de Boltzmann.
Passo 4
A relação entre
e
geralmente é direta, já que ambos descrevem a intensidade da radiação. Na maioria dos contextos, podemos considerar que:
Isso significa que a intensidade espectral
é igual à radiância espectral
para um corpo negro.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre
e como ele se relaciona com
. Isso está ligado à Lei de Wien, que nos diz que o comprimento de onda onde a emissão de radiação é máxima está inversamente relacionado à temperatura:
Onde
é a constante de deslocamento de Wien, aproximadamente
.
Passo 6
Para encontrar a relação entre
e
, vamos derivar a fórmula de Planck em relação a
, igualar a derivada a zero para encontrar o máximo e resolver para
. Isso nos leva à expressão da Lei de Wien mencionada acima.
Resposta
A relação matemática entre
e
é
. Além disso, o comprimento de onda onde a intensidade
é máxima,
, está relacionado à temperatura pela Lei de Wien:
Onde
.