A lei de Planck descreve adequadamente a radiação de corpo negro através da equação
. Qual é a relação matemática entre
e
, e
e
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a Lei de Planck que descreve como um corpo negro emite radiação. O enunciado pede para a gente descobrir a relação matemática entre a intensidade da radiação
e
, além de como o comprimento de onda onde a intensidade é máxima,
, se relaciona com
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre física das radiâncias e a Lei de Wien.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada símbolo representa:
-
: É a intensidade espectral da radiação emitida por um corpo negro em função do comprimento de onda e da temperatura . -
: Geralmente representa a radiância espectral, que também descreve a distribuição da intensidade da radiação em diferentes comprimentos de onda. -
: É o comprimento de onda no qual a radiação emitida é máxima para uma dada temperatura .
Passo 3
Agora, vamos ver a Lei de Planck, que nos dá a fórmula para
:
Aqui,
é a constante de Planck,
é a velocidade da luz, e
é a constante de Boltzmann.
Passo 4
A relação entre
e
geralmente é direta, já que ambos descrevem a intensidade da radiação. Na maioria dos contextos, podemos considerar que:
Isso significa que a intensidade espectral
é igual à radiância espectral
para um corpo negro.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre
e como ele se relaciona com
. Isso está ligado à Lei de Wien, que nos diz que o comprimento de onda onde a emissão de radiação é máxima está inversamente relacionado à temperatura:
Onde
é a constante de deslocamento de Wien, aproximadamente
.
Passo 6
Para encontrar a relação entre
e
, vamos derivar a fórmula de Planck em relação a
, igualar a derivada a zero para encontrar o máximo e resolver para
. Isso nos leva à expressão da Lei de Wien mencionada acima.
Resposta
A relação matemática entre
e
é
. Além disso, o comprimento de onda onde a intensidade
é máxima,
, está relacionado à temperatura pela Lei de Wien:
Onde
.
Exercícios relacionados
Mais lentes. Um objeto
está no eixo central de uma lente delgada simétrica. Para cada problema, a Tabela 34-8 mostra (a) o tipo de lente, convergente © ou divergente (D), (b) a distância focal
, © a distância do objeto
, (d) a distância da imagem
e (e) a ampliação lateral
. (Todas as distâncias estão em centímetros.) A tabela também mostra (f) se a imagem é real ® ou virtual (V), (g) se é invertida (I) ou não invertida (NI) e (h) se está do mesmo lado da lente que o objeto
(M) ou está do lado oposto (O). Determine os dados que faltam, incluindo o valor de
nos casos em que apenas uma desigualdade é fornecida. Nos casos em que está faltando apenas um sinal, determine o sinal.
Tabela 34-8 Problemas 69 a 79: Mais Lentes. As explicações estão no texto
Tabela 34-8 Problemas 69 a 79: Mais Lentes. As explicações estão no texto
(a) | (b) | © | (d) | (e) | (f) | (g) | (h) | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tipo | f | p | i | m | R/V | I/NI | Lado | |
69 |
|
|
||||||
71 |
|
|
||||||
73 |
|
|
||||||
74 | C | 10 |
|
|||||
75 | 10 |
|
|
Mesmo |
Lentes com raios dados. Um objeto
está no eixo central de uma lente delgada. Para cada problema, a Tabela 34-7 mostra a distância do objeto
, o índice de refração
da lente, o raio
da superfície da lente mais próxima do objeto e o raio
da superfície da lente mais distante do objeto. (Todas as distâncias estão em centímetros.) Determine (a) a distância da imagem
e (b) a ampliação lateral
do objeto, incluindo o sinal. Determine também se © se a imagem é real ® ou virtual (V), (d) se é invertida (I) ou não invertida (NI) e (e) se está do mesmo lado da lente que o objeto
(M) ou do lado oposto (O).
Tabela 34-7 Problemas 58 a 67: Lentes com Raios Dados. As explicações estão no texto
Tabela 34-7 Problemas 58 a 67: Lentes com Raios Dados. As explicações estão no texto
p | n |
|
|
(a) <br> i | (b) <br> m | © <br> R/V | (d) <br> I/NI | (e) Lado | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
58 |
|
1,65 |
|
|
|||||
59 |
|
1,55 |
|
|
|||||
60 |
|
1,70 |
|
|
|||||
63 |
|
1,70 |
|
|
|||||
64 |
|
1,50 |
|
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|||||
65 |
|
1,50 |
|
|
Quando analisamos a radiação térmica emitida mediante uma rede de difração ou prisma, identificamos a fração visível do espectro eletromagnético. Qual é a relação à cor do brilho do objeto e o espectro eletromagnético? (dica: teoria tri cromática de Young).
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