Lembre-se:
  • Leia atentamente cada questão antes de iniciar a sua resolução.
  • Marque apenas uma opção em cada questão a seguir. Mais de uma opção marcada, signifiea is na questão.
  1. (7 pontos) Assinale a alternativa que corresponda a uma forma funcional de uma funçāo de onda y(x, t) que satisfaça à equaçāo de onda. ( v é a velocidade da onda em propagaçāo no meio).
    a) y(x ; t)=e^x-1.
    b) -y(-x, t)=sen(v x+v t).
    c) y(x, t)=v t^2-v^2 x^2.
    d) y(x, t)=(v x-t)^6+(v x+t)^6
y(x, t)=ln (2 x+2 v t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar qual das alternativas apresenta uma função de onda $ y(x, t) $ que satisfaz a equação da onda. A equação da onda relaciona as derivadas segunda de $ y $ em relação ao tempo e ao espaço, e é dada por:
y(x, t)
Aqui, $ v $ é a velocidade de propagação da onda no meio. Para resolver, vamos verificar cada alternativa, calculando as derivadas necessárias e vendo se a igualdade acima é satisfeita.

Passo 2

Alternativa a) $ y(x, t) = e^{x - 1} $
Primeiro, calculamos as derivadas:
y(x, t) = e^x - 1
partial ypartial t = 0 Rightarrow partial^2 ypartial t^2 = 0
Substituindo na equação da onda:
partial ypartial x = e^x - 1 Rightarrow partial^2 ypartial x^2 = e^x - 1
Isso não é verdadeiro para $ v \neq 0 $. Então, a alternativa a) não satisfaz a equação da onda.

Passo 3

Alternativa b) $ -y(-x, t) = \sin(vx + vt) $
Primeiro, expressamos $ y(x, t) $:
-y(-x, t) = sin(vx + vt)
Agora, calculamos as derivadas:
y(x, t)
y(x, t) = -sin(-vx - vt) = -sin(-v(x + t)) = sin(v(x + t))
Substituindo na equação da onda:
partial ypartial t = v cos(v(x + t)) Rightarrow partial^2 ypartial t^2 = -v^2 sin(v(x + t))
Simplificando:
partial ypartial x = v cos(v(x + t)) Rightarrow partial^2 ypartial x^2 = -v^2 sin(v(x + t))
A igualdade é verdadeira. Portanto, a alternativa b) satisfaz a equação da onda.

Passo 4

Alternativa c) $ y(x, t) = v t^{2} - v^{2} x^{2} $
Calculando as derivadas:
y(x, t) = v t^2 - v^2 x^2
partial ypartial t = 2v t Rightarrow partial^2 ypartial t^2 = 2v
Substituindo na equação da onda:
partial ypartial x = -2v^2 x Rightarrow partial^2 ypartial x^2 = -2v^2
Isso só é verdadeiro se $ v = 0 $, o que não faz sentido físico para a velocidade da onda. Então, a alternativa c) não satisfaz a equação da onda.

Passo 5

Alternativa d) $ y(x, t) = (v x - t)^{6} + (v x + t)^{6} $
Vamos calcular as derivadas:
Primeiro, derivadas em relação ao tempo:
y(x, t) = (v x - t)^6 + (v x + t)^6
partial ypartial t = 6(vx - t)^5 (-1) + 6(vx + t)^5 (1) = -6(vx - t)^5 + 6(vx + t)^5
Agora, derivadas em relação ao espaço:
partial^2 ypartial t^2 = 30(vx - t)^4 + 30(vx + t)^4
partial ypartial x = 6(vx - t)^5 (v) + 6(vx + t)^5 (v) = 6v[(vx - t)^5 + (vx + t)^5]
Substituindo na equação da onda:
partial^2 ypartial x^2 = 30v^2(vx - t)^4 + 30v^2(vx + t)^4
Simplificando:
30(vx - t)^4 + 30(vx + t)^4 = v^2 [30v^2(vx - t)^4 + 30v^2(vx + t)^4]
Isso só é verdadeiro se $ v^{4} = 1 $, ou seja, $ v = \pm 1 $. Como $ v $ representa a velocidade da onda e não necessariamente igual a 1, a alternativa d) não satisfaz, exceto em casos específicos.

Passo 6

Alternativa e) $ y(x, t) = \ln(2x + 2vt) $
Calculando as derivadas:
y(x, t) = ln(2x + 2vt)
partial ypartial t = 2v2x + 2vt = vx + vt
partial^2 ypartial t^2 = -v^2(x + vt)^2
partial ypartial x = 22x + 2vt = 1x + vt
Substituindo na equação da onda:
partial^2 ypartial x^2 = -1(x + vt)^2
Simplificando:
- v^2(x + vt)^2 = v^2 ( -1(x + vt)^2 )
A igualdade é verdadeira. Portanto, a alternativa e) satisfaz a equação da onda.

Resposta

As alternativas b) e e) correspondem a formas funcionais que satisfazem a equação da onda.

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