Lembre-se:
- Leia atentamente cada questão antes de iniciar a sua resolução.
- Marque apenas uma opção em cada questão a seguir. Mais de uma opção marcada, signifiea is na questão.
- (7 pontos) Assinale a alternativa que corresponda a uma forma funcional de uma funçāo de onda
que satisfaça à equaçāo de onda. (
é a velocidade da onda em propagaçāo no meio).
a)
.
b)
.
c)
.
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar qual das alternativas apresenta uma função de onda $ y(x, t) $ que satisfaz a equação da onda. A equação da onda relaciona as derivadas segunda de $ y $ em relação ao tempo e ao espaço, e é dada por:
Aqui, $ v $ é a velocidade de propagação da onda no meio. Para resolver, vamos verificar cada alternativa, calculando as derivadas necessárias e vendo se a igualdade acima é satisfeita.
Passo 2
Alternativa a) $ y(x, t) = e^{x - 1} $
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação da onda:
Isso não é verdadeiro para $ v \neq 0 $. Então, a alternativa a) não satisfaz a equação da onda.
Passo 3
Alternativa b) $ -y(-x, t) = \sin(vx + vt) $
Primeiro, expressamos $ y(x, t) $:
Agora, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação da onda:
Simplificando:
A igualdade é verdadeira. Portanto, a alternativa b) satisfaz a equação da onda.
Passo 4
Alternativa c) $ y(x, t) = v t^{2} - v^{2} x^{2} $
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação da onda:
Isso só é verdadeiro se $ v = 0 $, o que não faz sentido físico para a velocidade da onda. Então, a alternativa c) não satisfaz a equação da onda.
Passo 5
Alternativa d) $ y(x, t) = (v x - t)^{6} + (v x + t)^{6} $
Vamos calcular as derivadas:
Primeiro, derivadas em relação ao tempo:
Agora, derivadas em relação ao espaço:
Substituindo na equação da onda:
Simplificando:
Isso só é verdadeiro se $ v^{4} = 1 $, ou seja, $ v = \pm 1 $. Como $ v $ representa a velocidade da onda e não necessariamente igual a 1, a alternativa d) não satisfaz, exceto em casos específicos.
Passo 6
Alternativa e) $ y(x, t) = \ln(2x + 2vt) $
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação da onda:
Simplificando:
A igualdade é verdadeira. Portanto, a alternativa e) satisfaz a equação da onda.
Resposta
As alternativas b) e e) correspondem a formas funcionais que satisfazem a equação da onda.