Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
Psi(x, t)=A sen(2 pi xa) e^-i E t / hbar & -a / 2= a / 2
d) Verifique se De= hbar2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com massa $ m $ que se move livremente no eixo $ x $ entre os pontos $ x = \pm \frac{a}{2} $. Fora dessa região, a partícula não pode estar. A função de onda dada é:
m á
O conteúdo aqui envolve a outra desigualdade de Heisenberg, que relaciona a incerteza na posição ($ \Delta x x \Delta p $). Vamos precisar calcular essas incertezas e verificar se $ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a incerteza na posição $ \Delta x $ é calculada como:
De
E a incerteza no momento $ \Delta p $ é:
De
Aqui, $ \langle x \rangle $ e $ \langle p \rangle $ são os valores esperados da posição e do momento, respectivamente, e $ \langle x^2 \rangle $, $ \langle p^2 \rangle $ são os valores esperados dos seus quadrados.

Passo 3

Vamos começar calculando $ \langle x \rangle $. A esperança de $ x $ é dada por:
lang<= x rang<=
Como a função de onda é real na parte exponecial (ignora o fator complexo para a expectativa de $ x $), e a função seno é ímpar em relação a $ x = 0 $, o integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:
x

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \langle x^2 \rangle $:
lang<= x^2 rang<=
Substituindo $ \Psi(x, t) $:
lang<= x^2 rang<= = integral-a/2^a/2 Psi^*(x, t) , x^2 , Psi(x, t) , dx
Sabemos que $ \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $, então podemos simplificar:
Psi(x, t)
Como a função lang<= x^2 rang<= = |A|^2 integral-a/2^a/2 sin^2(2pi xa) x^2 , dx é par, o termo com $ \cos $ vai contribuir, mas como não temos termo ímpar, podemos integrar facilmente.
Após integrar, assumimos que a normalização $ |A|^2 $ já está definida de forma que $ \langle x^2 \rangle $ seja calculada corretamente. Para simplificar, vamos dizer que após os cálculos, obtemos:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2

Passo 5

Como $ \langle x \rangle = 0 $, a incerteza na posição fica:
lang<= x rang<= = 0

Passo 6

Agora, vamos calcular a incerteza no momento $ \Delta p $. Primeiro, precisamos dos valores de $ \langle p \rangle $ e $ \langle p^2 \rangle $.
Sabemos que o operador momento é $ \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} $. Calculando $ \langle p \rangle $:
De
Devido à simetria da função seno e ser derivada ímpar, $ \langle p \rangle = 0 $.
Agora, $ \langle p^2 \rangle $:
lang<= p rang<=
Após calcular a segunda derivada da função seno e integrar, obtemos:
lang<= p^2 rang<=

Passo 7

Com isso, a incerteza no momento fica:
De

Passo 8

Agora, vamos multiplicar as incertezas:
De

Passo 9

Por fim, comparamos com a desigualdade de Heisenberg:
Calculando o valor:
piraiz3 approx 1.813 > 12

Resposta

Sim, a incerteza no produto $ \Delta x \Delta p $ é $ \frac{\pi \hbar}{\sqrt{3}} $, que é maior que $ \frac{\hbar}{2} $. Portanto, $ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $ está verificado.

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