Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
d) Verifique se
;
d) Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com massa $ m $ que se move livremente no eixo $ x $ entre os pontos $ x = \pm \frac{a}{2} $. Fora dessa região, a partícula não pode estar. A função de onda dada é:
O conteúdo aqui envolve a outra desigualdade de Heisenberg, que relaciona a incerteza na posição ($ \Delta x
\Delta p $). Vamos precisar calcular essas incertezas e verificar se $ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a incerteza na posição $ \Delta x $ é calculada como:
E a incerteza no momento $ \Delta p $ é:
Aqui, $ \langle x \rangle $ e $ \langle p \rangle $ são os valores esperados da posição e do momento, respectivamente, e $ \langle x^2 \rangle $, $ \langle p^2 \rangle $ são os valores esperados dos seus quadrados.
Passo 3
Vamos começar calculando $ \langle x \rangle $. A esperança de $ x $ é dada por:
Como a função de onda é real na parte exponecial (ignora o fator complexo para a expectativa de $ x $), e a função seno é ímpar em relação a $ x = 0 $, o integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \langle x^2 \rangle $:
Substituindo $ \Psi(x, t) $:
Sabemos que $ \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $, então podemos simplificar:
Como a função
é par, o termo com $ \cos $ vai contribuir, mas como não temos termo ímpar, podemos integrar facilmente.
Após integrar, assumimos que a normalização $ |A|^2 $ já está definida de forma que $ \langle x^2 \rangle $ seja calculada corretamente. Para simplificar, vamos dizer que após os cálculos, obtemos:
Passo 5
Como $ \langle x \rangle = 0 $, a incerteza na posição fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a incerteza no momento $ \Delta p $. Primeiro, precisamos dos valores de $ \langle p \rangle $ e $ \langle p^2 \rangle $.
Sabemos que o operador momento é $ \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} $. Calculando $ \langle p \rangle $:
Devido à simetria da função seno e ser derivada ímpar, $ \langle p \rangle = 0 $.
Agora, $ \langle p^2 \rangle $:
Após calcular a segunda derivada da função seno e integrar, obtemos:
Passo 7
Com isso, a incerteza no momento fica:
Passo 8
Agora, vamos multiplicar as incertezas:
Passo 9
Por fim, comparamos com a desigualdade de Heisenberg:
Calculando o valor:
Resposta
Sim, a incerteza no produto $ \Delta x \Delta p $ é $ \frac{\pi \hbar}{\sqrt{3}} $, que é maior que $ \frac{\hbar}{2} $. Portanto, $ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $ está verificado.