Let
(b) Show that
is positive definite.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos a matriz
E precisamos mostrar que essa matriz é definida positiva. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, onde uma matriz definida positiva tem algumas propriedades especiais, como todos os seus valores próprios serem positivos. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos simples.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se a matriz A é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, se A é igual a Aᵗ. Olhando para a matriz dada:
Observamos que o elemento na posição (1,2) é igual ao elemento na posição (2,1), ambos são -2. Portanto, A é simétrica.
Passo 3
Agora que sabemos que A é simétrica, podemos usar o critério dos menores principais para verificar se ela é definida positiva. Para uma matriz 2x2, isso significa que:
- O primeiro menor principal (o elemento a₁₁) deve ser maior que 0.
- O determinante da matriz A deve ser maior que 0.
Passo 4
Vamos verificar o primeiro menor principal, que é o elemento a₁₁ da matriz A. Aqui, a₁₁ = 9. Como 9 é maior que 0, a primeira condição está satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante da matriz A. Para uma matriz 2x2, o determinante é calculado assim:
Como 50 é maior que 0, a segunda condição também está satisfeita.
Resposta
Como ambas as condições dos menores principais são satisfeitas (a₁₁ > 0 e det(A) > 0), a matriz A é positiva definida.
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(d) For general
and
.
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