Verify the following properties of the transpose when
(d) For general and .

Passo 1

Beleza, vamos verificar a propriedade de que a transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das transpostas, mas na ordem inversa. A fórmula que queremos provar é:
Para isso, vamos precisar calcular o produto , depois tirar a transposta desse resultado, e também calcular as transpostas individuais e e multiplicá-las na ordem inversa. Por fim, vamos comparar os dois resultados para ver se são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto . Temos:
A multiplicação de matrizes funciona multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Então:

Passo 3

Agora, vamos tirar a transposta de . A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as transpostas individuais e :

Passo 5

Agora, vamos multiplicar por :
Fazendo a multiplicação:

Resposta

Como , a propriedade está verificada.

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Let
(b) Show that is positive definite.