Verify the following properties of the transpose when
A=[ll 2 & 1 1 & 3 ], B=[lll 1 & 4 & 2 5 & 0 & 3 ], and C=[ll 1 & 4 3 & 2 ]
(d) For general underset(m times k)A and underset(k times ell)B,(A B)^prime=B^prime A^prime.

Passo 1

Beleza, vamos verificar a propriedade de que a transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das transpostas, mas na ordem inversa. A fórmula que queremos provar é:
(A B)^prime = B^prime A^prime
Para isso, vamos precisar calcular o produto A B, depois tirar a transposta desse resultado, e também calcular as transpostas individuais A^prime e B^prime e multiplicá-las na ordem inversa. Por fim, vamos comparar os dois resultados para ver se são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto A B. Temos:
A = 2 & 1 1 & 3 , B = 1 & 4 & 2 5 & 0 & 3
A multiplicação de matrizes funciona multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Então:
A B = 2 times 1 + 1 times 5 & 2 times 4 + 1 times 0 & 2 times 2 + 1 times 3 1 times 1 + 3 times 5 & 1 times 4 + 3 times 0 & 1 times 2 + 3 times 3 = 7 & 8 & 7 16 & 4 & 11

Passo 3

Agora, vamos tirar a transposta de A B. A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas:
(A B)^prime = 7 & 16 8 & 4 7 & 11

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as transpostas individuais A^prime e B^prime:
A^prime = 2 & 1 1 & 3
B^prime = 1 & 5 4 & 0 2 & 3

Passo 5

Agora, vamos multiplicar B^prime por A^prime:
B^prime A^prime = 1 & 5 4 & 0 2 & 3 2 & 1 1 & 3
Fazendo a multiplicação:
B^prime A^prime = 1 times 2 + 5 times 1 & 1 times 1 + 5 times 3 4 times 2 + 0 times 1 & 4 times 1 + 0 times 3 2 times 2 + 3 times 1 & 2 times 1 + 3 times 3 = 7 & 16 8 & 4 7 & 11

Resposta

Como (A B)^prime = B^prime A^prime = 7 & 16 8 & 4 7 & 11 , a propriedade está verificada.

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