Verify the following properties of the transpose when
(d) For general and .
Passo 1
Beleza, vamos verificar a propriedade de que a transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das transpostas, mas na ordem inversa. A fórmula que queremos provar é:
Para isso, vamos precisar calcular o produto , depois tirar a transposta desse resultado, e também calcular as transpostas individuais e e multiplicá-las na ordem inversa. Por fim, vamos comparar os dois resultados para ver se são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto . Temos:
A multiplicação de matrizes funciona multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Então:
Passo 3
Agora, vamos tirar a transposta de . A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular as transpostas individuais A^prime e B^prime:
A^prime = 2 & 1 1 & 3
B^prime = 1 & 5 4 & 0 2 & 3
Passo 5
Agora, vamos multiplicar B^prime por A^prime:
B^prime A^prime = 1 & 5 4 & 0 2 & 3 2 & 1 1 & 3
Fazendo a multiplicação:
B^prime A^prime = 1 times 2 + 5 times 1 & 1 times 1 + 5 times 3 4 times 2 + 0 times 1 & 4 times 1 + 0 times 3 2 times 2 + 3 times 1 & 2 times 1 + 3 times 3 = 7 & 16 8 & 4 7 & 11
Resposta
Como (A B)^prime = B^prime A^prime = 7 & 16 8 & 4 7 & 11 , a propriedade está verificada.