Let X have covariance matrix
Sigma=[lll 4 & 0 & 0 0 & 9 & 0 0 & 0 & 1 ]
Find
(b) The eigenvalues and eigenvectors of Sigma.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde temos uma matriz de covariância Sigma dada e precisamos encontrar seus autovalores (eigenvalues) e autovetores (eigenvectors). Para isso, vamos utilizar conceitos de matrizes e propriedades de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada A, um autovalor lambda é um número tal que existe um vetor não nulo v que satisfaz a equação Av = lambda v. Esse vetor v é chamado de autovetor correspondente ao autovalor lambda.

Passo 3

Observe que a matriz de covariância Sigma dada é uma matriz diagonal:
Sigma=[ccc 4 & 0 & 0 0 & 9 & 0 0 & 0 & 1 ]
Em matrizes diagonais, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal. Isso porque, quando multiplicamos a matriz diagonal por um vetor, cada componente é multiplicado apenas pelo elemento correspondente da diagonal.

Passo 4

Portanto, os autovalores de Sigma são os elementos da diagonal:
lambda1 = 4, lambda2 = 9, lambda3 = 1

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Em uma matriz diagonal, os autovetores são os vetores das bases canônicas, ou seja, vetores com 1 em uma posição e 0 nas outras.

Passo 6

Assim, os autovetores de Sigma são:
v1 = 1 0 0, v2 = 0 1 0, v3 = 0 0 1

Resposta

Os autovalores de Sigma são lambda1 = 4, lambda2 = 9 e lambda3 = 1. Os autovetores correspondentes são v1 = 1 0 0, v2 = 0 1 0 e v3 = 0 0 1.

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