Let have covariance matrix
Find
(b) The eigenvalues and eigenvectors of .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde temos uma matriz de covariância dada e precisamos encontrar seus autovalores (eigenvalues) e autovetores (eigenvectors). Para isso, vamos utilizar conceitos de matrizes e propriedades de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada , um autovalor é um número tal que existe um vetor não nulo que satisfaz a equação . Esse vetor é chamado de autovetor correspondente ao autovalor .

Passo 3

Observe que a matriz de covariância dada é uma matriz diagonal:
Em matrizes diagonais, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal. Isso porque, quando multiplicamos a matriz diagonal por um vetor, cada componente é multiplicado apenas pelo elemento correspondente da diagonal.

Passo 4

Portanto, os autovalores de são os elementos da diagonal:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Em uma matriz diagonal, os autovetores são os vetores das bases canônicas, ou seja, vetores com 1 em uma posição e 0 nas outras.

Passo 6

Assim, os autovetores de são:

Resposta

Os autovalores de são , e . Os autovetores correspondentes são , e .

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