Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde temos uma matriz de covariância dada e precisamos encontrar seus autovalores (eigenvalues) e autovetores (eigenvectors). Para isso, vamos utilizar conceitos de matrizes e propriedades de autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada , um autovalor é um número tal que existe um vetor não nulo que satisfaz a equação . Esse vetor é chamado de autovetor correspondente ao autovalor .
Passo 3
Observe que a matriz de covariância dada é uma matriz diagonal:
Em matrizes diagonais, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal. Isso porque, quando multiplicamos a matriz diagonal por um vetor, cada componente é multiplicado apenas pelo elemento correspondente da diagonal.
Passo 4
Portanto, os autovalores de são os elementos da diagonal:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Em uma matriz diagonal, os autovetores são os vetores das bases canônicas, ou seja, vetores com 1 em uma posição e 0 nas outras.
Passo 6
Assim, os autovetores de são:
Resposta
Os autovalores de são , e . Os autovetores correspondentes são , e .