and consider the linear combinations A X^(1) and B X^(2). Find
(d) Cov(A X^(1))
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá um vetor aleatório X = [X1, X2, X3, X4] com um vetor média mux = [4, 3, 2, 1] e uma matriz de variância-covariância SigmaX. A gente precisa focar na parte X^(1) = [X1, X2] e usar a matriz A = [1 2] para encontrar a covariância de A X^(1). Para isso, vamos precisar entender como calcular a variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma combinação linear de variáveis aleatórias, digamos A X^(1), a variância dessa combinação pode ser calculada usando a fórmula:
Var(A X^(1)) = A SigmaX^(1) A^prime
Aqui, SigmaX^(1) é a matriz de variância-covariância das variáveis X1 e X2, e A^prime é a transposta da matriz A.
Passo 3
Vamos identificar a matriz SigmaX^(1). Olhando a matriz de variância-covariância completa: