You are given the random vector with mean vector and variance-covariance matrix
Partition as
Let
and consider the linear combinations and . Find
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá um vetor aleatório com um vetor média e uma matriz de variância-covariância . A gente precisa focar na parte e usar a matriz para encontrar a covariância de . Para isso, vamos precisar entender como calcular a variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma combinação linear de variáveis aleatórias, digamos , a variância dessa combinação pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui, é a matriz de variância-covariância das variáveis e , e é a transposta da matriz .
Passo 3
Vamos identificar a matriz . Olhando a matriz de variância-covariância completa:
A submatriz correspondente a é a parte de cima à esquerda, ou seja:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula da variância:
Substituindo os valores:
E a transposta de é:
Passo 5
Vamos multiplicar as matrizes passo a passo:
Primeiro, multiplicamos pela matriz :
Agora, multiplicamos o resultado pela transposta de :