You are given the random vector with mean vector and variance-covariance matrix
Partition as
Let
and consider the linear combinations and . Find
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá um vetor aleatório com um vetor média e uma matriz de variância-covariância . A gente precisa focar na parte e usar a matriz para encontrar a covariância de . Para isso, vamos precisar entender como calcular a variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma combinação linear de variáveis aleatórias, digamos , a variância dessa combinação pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui, é a matriz de variância-covariância das variáveis e , e é a transposta da matriz .

Passo 3

Vamos identificar a matriz . Olhando a matriz de variância-covariância completa:
A submatriz correspondente a é a parte de cima à esquerda, ou seja:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da variância:
Substituindo os valores:
E a transposta de é:

Passo 5

Vamos multiplicar as matrizes passo a passo:
Primeiro, multiplicamos pela matriz :
Agora, multiplicamos o resultado pela transposta de :

Resposta

A covariância de é .

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Explique as características de cada um dos domínios de cálculo: reta a, 1, 2, 3, 4, 4a, 5 e reta b.
where
Let be the covariance matrix of with general element . Partition into the covariance matrices of and and the covariance matrix of an element of and an element of .
Segundo a NBR 6118, em qual Domínio deformação ocorre a ruptura frágil de uma viga de concreto armado? Por quê?
Let have covariance matrix
Find
(b) The eigenvalues and eigenvectors of .