You are given the random vector X^prime=[X1, X2, X3, X4] with mean vector mux^prime=[4,3,2,1] and variance-covariance matrix
Partition X as
SigmaX=[rrrr 3 & 0 & 2 & 2 0 & 1 & 1 & 0 2 & 1 & 9 & -2 2 & 0 & -2 & 4 ]
X=[c X1 X2 hdashline X3 X4 ]=[l X^(1) hdashline X^(2) ]
Let
A=[ll 1 & 2 ] and B=[ll 1 & -2 2 & -1 ]
and consider the linear combinations A X^(1) and B X^(2). Find
(d) Cov(A X^(1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá um vetor aleatório X = [X1, X2, X3, X4] com um vetor média mux = [4, 3, 2, 1] e uma matriz de variância-covariância SigmaX. A gente precisa focar na parte X^(1) = [X1, X2] e usar a matriz A = [1 2] para encontrar a covariância de A X^(1). Para isso, vamos precisar entender como calcular a variância de uma combinação linear de variáveis aleatórias usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma combinação linear de variáveis aleatórias, digamos A X^(1), a variância dessa combinação pode ser calculada usando a fórmula:
Var(A X^(1)) = A SigmaX^(1) A^prime
Aqui, SigmaX^(1) é a matriz de variância-covariância das variáveis X1 e X2, e A^prime é a transposta da matriz A.

Passo 3

Vamos identificar a matriz SigmaX^(1). Olhando a matriz de variância-covariância completa:
SigmaX = 3 & 0 & 2 & 2 0 & 1 & 1 & 0 2 & 1 & 9 & -2 2 & 0 & -2 & 4
A submatriz correspondente a X^(1) = [X1, X2] é a parte de cima à esquerda, ou seja:
SigmaX^(1) = 3 & 0 0 & 1

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da variância:
Var(A X^(1)) = A SigmaX^(1) A^prime
Substituindo os valores:
A = [1 2]
E a transposta de A é:
A^prime = 1 2

Passo 5

Vamos multiplicar as matrizes passo a passo:
Primeiro, multiplicamos A pela matriz SigmaX^(1):
A SigmaX^(1) = [1 2] 3 & 0 0 & 1 = [1 times 3 + 2 times 0 1 times 0 + 2 times 1] = [3 2]
Agora, multiplicamos o resultado pela transposta de A:
[3 2] 1 2 = 3 times 1 + 2 times 2 = 3 + 4 = 7

Resposta

A covariância de A X^(1) é 7.

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