Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz inversa da matriz de covariância Sigma. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com propriedades de matrizes e seus autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a matriz inversa e como determinar seus autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz de covariância Sigma que foi dada:
Sigma = 4 & 0 & 0 0 & 9 & 0 0 & 0 & 1
Percebemos que é uma matriz diagonal, o que facilita muito os cálculos!
Passo 3
Como a matriz é diagonal, a sua inversa Sigma^-1 também será uma matriz diagonal, onde cada elemento diagonal é o inverso do correspondente em Sigma. Então, calculamos:
Sigma^-1 = 14 & 0 & 0 0 & 19 & 0 0 & 0 & 1
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovalores de Sigma^-1. Para matrizes diagonais, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal. Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 14, lambda2 = 19, lambda3 = 1
Passo 5
Em seguida, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Em matrizes diagonais, os autovetores são os vetores canônicos, ou seja, cada autovetor tem 1 em uma posição e 0 nas demais. Assim, os autovetores são:
v1 = 1 0 0, v2 = 0 1 0, v3 = 0 0 1
Resposta
Os autovalores de Sigma^-1 são 14, 19 e 1, e os autovetores correspondentes são 1 0 0, 0 1 0 e 0 0 1, respectivamente.