Let have covariance matrix
Find
© The eigenvalues and eigenvectors of .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz inversa da matriz de covariância . Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com propriedades de matrizes e seus autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a matriz inversa e como determinar seus autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz de covariância que foi dada:
Percebemos que é uma matriz diagonal, o que facilita muito os cálculos!

Passo 3

Como a matriz é diagonal, a sua inversa também será uma matriz diagonal, onde cada elemento diagonal é o inverso do correspondente em . Então, calculamos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovalores de . Para matrizes diagonais, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal. Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Em seguida, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Em matrizes diagonais, os autovetores são os vetores canônicos, ou seja, cada autovetor tem 1 em uma posição e 0 nas demais. Assim, os autovetores são:

Resposta

Os autovalores de são , e , e os autovetores correspondentes são , e , respectivamente.

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