A=[rrr 4 & 8 & 8 3 & 6 & -9 ]
(a) Calculate A A^prime and obtain its eigenvalues and eigenvectors.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a matriz:
A = [rrr 4 & 8 & 8 3 & 6 & -9 ]
Precisamos calcular o produto A A^prime, onde A^prime é a transposta de A. Depois disso, vamos encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) dessa nova matriz.
Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes, calcular a transposta de uma matriz, e encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a transposta de A. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, a transposta de A é:
A^prime = [rr 4 & 3 8 & 6 8 & -9 ]

Passo 3

Agora, vamos multiplicar A por A^prime. A multiplicação de duas matrizes envolve o produto escalar das linhas da primeira matriz com as colunas da segunda matriz.
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
A A^prime = [cc (4)(4) + (8)(8) + (8)(8) & (4)(3) + (8)(6) + (8)(-9) (3)(4) + (6)(8) + (-9)(8) & (3)(3) + (6)(6) + (-9)(-9) ]
Calculando cada termo:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
(4)(4) + (8)(8) + (8)(8) = 16 + 64 + 64 = 144
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
(4)(3) + (8)(6) + (8)(-9) = 12 + 48 - 72 = -12
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
(3)(4) + (6)(8) + (-9)(8) = 12 + 48 - 72 = -12
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
(3)(3) + (6)(6) + (-9)(-9) = 9 + 36 + 81 = 126
Portanto, a matriz A A^prime é:
A A^prime = [cc 144 & -12 -12 & 126 ]

Passo 4

Agora que temos a matriz quadrada A A^prime, vamos encontrar seus autovalores e autovetores.
Primeiro, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
det(A A^prime - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Calculando A A^prime - lambda I:
[cc 144 - lambda & -12 -12 & 126 - lambda ]
O determinante dessa matriz é:
(144 - lambda)(126 - lambda) - (-12)(-12) = 0
Expandindo:
(144 times 126) - (144 + 126)lambda + lambda^2 - 144 = 0
Calculando os termos:
18144 - 270lambda + lambda^2 - 144 = 0 lambda^2 - 270lambda + 18000 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 270 pm raiz270^2 - 4 times 1 times 180002 lambda = 270 pm raiz72900 - 720002 lambda = 270 pm raiz9002 lambda = 270 pm 302
Assim, os autovalores são:
lambda1 = 270 + 302 = 150 lambda2 = 270 - 302 = 120

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Primeiro, para lambda1 = 150:
Resolvemos (A A^prime - 150 I)v = 0.
Substituindo:
[cc 144 - 150 & -12 -12 & 126 - 150 ] v = 0 [cc -6 & -12 -12 & -24 ] v = 0
Isso nos dá o sistema de equações:
-6v1 - 12v2 = 0 -12v1 - 24v2 = 0
Podemos simplificar a primeira equação:
-6v1 = 12v2 v1 = -2v2
Escolhendo v2 = 1, temos o autovetor:
v1 = [c -2 1 ]
Agora, para lambda2 = 120:
Resolvemos (A A^prime - 120 I)v = 0.
Substituindo:
[cc 144 - 120 & -12 -12 & 126 - 120 ] v = 0 [cc 24 & -12 -12 & 6 ] v = 0
Isso nos dá o sistema de equações:
24v1 - 12v2 = 0 -12v1 + 6v2 = 0
Simplificando a primeira equação:
24v1 = 12v2 v1 = 1224v2 v1 = 12v2
Escolhendo v2 = 2, temos o autovetor:
v2 = [c 1 2 ]

Resposta

A matriz A A^prime é:
A A^prime = [cc 144 & -12 -12 & 126 ]
Os autovalores são lambda1 = 150 e lambda2 = 120, com os respectivos autovetores:
v1 = [c -2 1 ] e v2 = [c 1 2 ]

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