(a) Calculate and obtain its eigenvalues and eigenvectors.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a matriz:
Precisamos calcular o produto , onde é a transposta de . Depois disso, vamos encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) dessa nova matriz.
Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes, calcular a transposta de uma matriz, e encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a transposta de . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, a transposta de é:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar por . A multiplicação de duas matrizes envolve o produto escalar das linhas da primeira matriz com as colunas da segunda matriz.
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
Calculando cada termo:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Portanto, a matriz é:

Passo 4

Agora que temos a matriz quadrada , vamos encontrar seus autovalores e autovetores.
Primeiro, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Calculando :
O determinante dessa matriz é:
Expandindo:
Calculando os termos:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, os autovalores são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Primeiro, para :
Resolvemos .
Substituindo:
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos simplificar a primeira equação:
Escolhendo , temos o autovetor:
Agora, para :
Resolvemos .
Substituindo:
Isso nos dá o sistema de equações:
Simplificando a primeira equação:
Escolhendo , temos o autovetor:

Resposta

A matriz é:
Os autovalores são e , com os respectivos autovetores:

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