(a) Calculate and obtain its eigenvalues and eigenvectors.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a matriz:
Precisamos calcular o produto , onde é a transposta de . Depois disso, vamos encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) dessa nova matriz.
Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes, calcular a transposta de uma matriz, e encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a transposta de . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, a transposta de é:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar A por A^prime. A multiplicação de duas matrizes envolve o produto escalar das linhas da primeira matriz com as colunas da segunda matriz.
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante: