(a) Calculate and obtain its eigenvalues and eigenvectors.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a matriz:
Precisamos calcular o produto , onde é a transposta de . Depois disso, vamos encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) dessa nova matriz.
Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes, calcular a transposta de uma matriz, e encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a transposta de . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, a transposta de é:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar por . A multiplicação de duas matrizes envolve o produto escalar das linhas da primeira matriz com as colunas da segunda matriz.
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
Calculando cada termo:
Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Portanto, a matriz é:
Passo 4
Agora que temos a matriz quadrada , vamos encontrar seus autovalores e autovetores.
Primeiro, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Calculando :
O determinante dessa matriz é:
Expandindo:
Calculando os termos:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Primeiro, para :
Resolvemos .
Substituindo:
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos simplificar a primeira equação:
Escolhendo , temos o autovetor:
Agora, para :
Resolvemos .
Substituindo:
Isso nos dá o sistema de equações:
Simplificando a primeira equação:
Escolhendo , temos o autovetor:
Resposta
A matriz é:
Os autovalores são e , com os respectivos autovetores: