(LIENHARD 2.24) Heat flows steadily through a stainless steel wall of thickness LS S=0,06 m, with a variable thermal conductivity of k SS =1,67+0,0143 cdot T( ^circ C). It is partially insulated on the right side with glass wool of thickness Lg w=0,1 m, with a thermal conductivity of kg w=0.04 W / m K. The temperature on the left-hand side of the stainless stell is 400^circ C and on the right-hand side if the glass wool is 100^circ C. Evaluate q^prime prime and Ti.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma parede feita de aço inoxidável com uma espessura de e sua condutividade térmica varia com a temperatura segundo a fórmula . Do outro lado dessa parede, temos isolamento de lã de vidro com espessura e condutividade térmica constante de . A temperatura na face esquerda do aço inox é e na face direita do isolamento é . Nosso objetivo é encontrar o fluxo de calor e a temperatura na interface .
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo de calor em sistemas com múltiplas camadas e condutividade térmica variável. Vamos dividir a solução em passos para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que o fluxo de calor é constante através de todas as camadas. Isso significa que a quantidade de calor que passa pelo aço inoxidável é a mesma que passa pelo isolamento de lã de vidro.

Passo 3

Vamos calcular a resist��ncia térmica de cada material. A resistência térmica R = Lk para uma camada com condutividade Rgw = Lgwkgw = 0,10,04 = 2,5 , K/W e espessura é dada por:
No caso da lã de vidro, como é constante, a resistência térmica é:

Passo 4

Agora, para o aço inoxidável, a condutividade térmica depende da temperatura. Isso significa que precisamos integrar para encontrar a resistência térmica efetiva. A resistência térmica para o aço inoxidável é:
RSS = integralTi^400 1kSS(T) , dT
Substituindo RSS = integralTi^400 11,67 + 0,0143T , dT :
RSS = 10,0143 ln( 1,67 + 0,0143 cdot 4001,67 + 0,0143 cdot Ti )
Essa integral resulta em:
1,67 + 0,0143 cdot 400 = 1,67 + 5,72 = 7,39 , W/m·K
Calculando os valores:
RSS = 10,0143 ln( 7,391,67 + 0,0143 cdot Ti )
Portanto:

Passo 5

Sabemos que as resistências térmicas se somam:
Rtotal = RSS + Rgw
E o fluxo de calor pode ser expresso pela diferença de temperatura dividida pela resistência total:
q'' = 400 - 100Rtotal = 300RSS + 2,5

Passo 6

Agora, substituímos q'' = 30010,0143 ln( 7,391,67 + 0,0143 cdot Ti ) + 2,5 na equação de :
Para resolver isso, precisamos de uma abordagem iterativa ou numérica, já que a equação envolve dentro do logaritmo.

Passo 7

Assumindo que 1,67 + 0,0143 cdot 250 = 1,67 + 3,575 = 5,245 , W/m·K está entre RSS = 10,0143 ln( 7,395,245 ) approx 69,930 cdot ln(1,410) approx 69,930 cdot 0,343 = 24 , K/W e Rtotal = 24 + 2,5 = 26,5 , K/W , podemos fazer uma aproximação inicial. Suponha q'' = 30026,5 approx 11,32 , W/m² :
RSS = 30011,32 - 2,5 approx 24 - 2,5 = 21,5 , K/W
21,5 = 10,0143 ln( 7,391,67 + 0,0143 cdot Ti )
Então:
ln( 7,391,67 + 0,0143 cdot Ti ) = 21,5 times 0,0143 approx 0,30745
7,391,67 + 0,0143 cdot Ti = e^0,30745 approx 1,360 ²
Agora, refinamos 1,67 + 0,0143 cdot Ti = 7,391,360 approx 5,434 usando 0,0143 cdot Ti = 5,434 - 1,67 = 3,764 :
Ti = 3,7640,0143 approx 263,1^circC

Resposta

O fluxo de calor é aproximadamente ² e a temperatura na interface é .

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