(LIENHARD 2.24) Heat flows steadily through a stainless steel wall of thickness , with a variable thermal conductivity of . It is partially insulated on the right side with glass wool of thickness , with a thermal conductivity of . The temperature on the left-hand side of the stainless stell is and on the right-hand side if the glass wool is . Evaluate and .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma parede feita de aço inoxidável com uma espessura de e sua condutividade térmica varia com a temperatura segundo a fórmula . Do outro lado dessa parede, temos isolamento de lã de vidro com espessura e condutividade térmica constante de . A temperatura na face esquerda do aço inox é e na face direita do isolamento é . Nosso objetivo é encontrar o fluxo de calor e a temperatura na interface .
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo de calor em sistemas com múltiplas camadas e condutividade térmica variável. Vamos dividir a solução em passos para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que o fluxo de calor é constante através de todas as camadas. Isso significa que a quantidade de calor que passa pelo aço inoxidável é a mesma que passa pelo isolamento de lã de vidro.

Passo 3

Vamos calcular a resist��ncia térmica de cada material. A resistência térmica para uma camada com condutividade e espessura é dada por:
No caso da lã de vidro, como é constante, a resistência térmica é:

Passo 4

Agora, para o aço inoxidável, a condutividade térmica depende da temperatura. Isso significa que precisamos integrar para encontrar a resistência térmica efetiva. A resistência térmica para o aço inoxidável é:
Substituindo :
Essa integral resulta em:
Calculando os valores:
Portanto:

Passo 5

Sabemos que as resistências térmicas se somam:
E o fluxo de calor pode ser expresso pela diferença de temperatura dividida pela resistência total:

Passo 6

Agora, substituímos na equação de :
Para resolver isso, precisamos de uma abordagem iterativa ou numérica, já que a equação envolve dentro do logaritmo.

Passo 7

Assumindo que está entre e , podemos fazer uma aproximação inicial. Suponha :
Então:
²
Agora, refinamos usando :

Resposta

O fluxo de calor é aproximadamente ² e a temperatura na interface é .

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