(LIENHARD 2.24) Heat flows steadily through a stainless steel wall of thickness
, with a variable thermal conductivity of
. It is partially insulated on the right side with glass wool of thickness
, with a thermal conductivity of
. The temperature on the left-hand side of the stainless stell is
and on the right-hand side if the glass wool is
. Evaluate
and
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma parede feita de aço inoxidável com uma espessura de
e sua condutividade térmica varia com a temperatura segundo a fórmula
. Do outro lado dessa parede, temos isolamento de lã de vidro com espessura
e condutividade térmica constante de
. A temperatura na face esquerda do aço inox é
e na face direita do isolamento é
. Nosso objetivo é encontrar o fluxo de calor
e a temperatura na interface
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo de calor em sistemas com múltiplas camadas e condutividade térmica variável. Vamos dividir a solução em passos para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que o fluxo de calor
é constante através de todas as camadas. Isso significa que a quantidade de calor que passa pelo aço inoxidável é a mesma que passa pelo isolamento de lã de vidro.
Passo 3
Vamos calcular a resist��ncia térmica de cada material. A resistência térmica
para uma camada com condutividade
e espessura
é dada por:
No caso da lã de vidro, como
é constante, a resistência térmica é:
Passo 4
Agora, para o aço inoxidável, a condutividade térmica depende da temperatura. Isso significa que precisamos integrar para encontrar a resistência térmica efetiva. A resistência térmica para o aço inoxidável é:
Substituindo
:
Essa integral resulta em:
Calculando os valores:
Portanto:
Passo 5
Sabemos que as resistências térmicas se somam:
E o fluxo de calor pode ser expresso pela diferença de temperatura dividida pela resistência total:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação de
:
Para resolver isso, precisamos de uma abordagem iterativa ou numérica, já que a equação envolve
dentro do logaritmo.
Passo 7
Assumindo que
está entre
e
, podemos fazer uma aproximação inicial. Suponha
:
Então:
Agora, refinamos
usando
:
Resposta
O fluxo de calor é aproximadamente
e a temperatura na interface é
.
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. (resposta
).
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.
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).