Uma liga ferro-carbono com estrutura cristalina CFC contendo inicialmente
p C é carbonetada em uma temperatura elevada e sob uma atmosfera na qual a concentração de carbono na superfície é mantida em
p. Se após 48 horas a concentração de carbono em uma posição
abaixo da superfície é de
p, determine a temperatura na qual o tratamento foi conduzido.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma liga de ferro-carbono com estrutura cristalina CFC (Cúbica de Face Centrada) que inicialmente tem 0,10% de carbono. Essa liga foi submetida a um processo de carbonetação, ou seja, foi enriquecida com carbono, em uma temperatura alta e em uma atmosfera onde a concentração de carbono na superfície é mantida em 1,10% de carbono. Após 48 horas, a concentração de carbono a 3,5 mm abaixo da superfície é de 0,30%. Nosso objetivo é determinar a temperatura na qual esse tratamento foi realizado.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre difusão de carbono em ligas metálicas, aplicar a Lei de Difusão de Fick e usar a Equação de Arrhenius que relaciona a difusividade com a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a difusão é o processo pelo qual átomos se movimentam de uma região de maior concentração para uma de menor concentração. No caso, o carbono está se difundindo da superfície da liga para o interior.
A Lei de Difusão de Fick nos ajuda a descrever como a concentração de um elemento muda ao longo do tempo e da distância. Para um caso de superfície plana e sem variações laterais, a solução da segunda Lei de Fick para difusão em um meio semi-infinito é dada por:
Onde:
-
é a concentração no interior a uma distância da superfície após um tempo . -
é a concentração na superfície. -
é a concentração inicial no interior. -
é o coeficiente de difusão. -
é a função erro.
Passo 3
Vamos organizar os dados fornecidos:
- Concentração inicial no interior (
): 0,10% - Concentração na superfície (
): 1,10% - Concentração a 3,5 mm da superfície após 48 horas (
): 0,30% - Tempo (
): 48 horas = 172800 segundos (já que 1 hora = 3600 segundos) - Distância (
): 3,5 mm = 0,0035 m
Queremos encontrar a temperatura, mas primeiro precisamos encontrar o coeficiente de difusão
.
Passo 4
Primeiro, isolamos a função erro na equação de Fick:
Substituindo os valores:
Agora, precisamos encontrar o argumento da função erro que resulta em 0,80. Consultando a tabela da função erro ou usando uma calculadora inversa, encontramos:
Então:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Calculando o lado direito:
Então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Finalmente, isolamos
:
Passo 6
Agora que temos o coeficiente de difusão
, precisamos relacioná-lo com a temperatura. A relação entre
e a temperatura
é dada pela Equação de Arrhenius:
Onde:
-
é o fator pré-exponencial (constante). -
é a energia de ativação para a difusão. -
é a constante dos gases (8,314 J/mol·K). -
é a temperatura em Kelvin.
Para encontrar
, precisaríamos conhecer
e
. Como esses valores não foram fornecidos, assumiremos que são conhecidos ou que precisamos expressar
em termos desses parâmetros.
Passo 7
Isolando
na equação de Arrhenius:
Rearranjando:
Passo 8
Portanto, a temperatura
na qual o tratamento foi conduzido é dada por:
Onde:
-
é a energia de ativação. -
é o fator pré-exponencial. -
é o coeficiente de difusão calculado ( ).
Sem os valores específicos de
e
, não podemos calcular um valor numérico para
, mas expressamos a relação necessária para determinar a temperatura com os dados fornecidos.
Resposta
A temperatura do tratamento está dada por
, onde
é a energia de ativação e
é o fator pré-exponencial específicos para o sistema ferro-carbono.