Uma liga ferro-carbono com estrutura cristalina CFC contendo inicialmente 0,10 % p C é carbonetada em uma temperatura elevada e sob uma atmosfera na qual a concentração de carbono na superfície é mantida em 1,10 % p. Se após 48 horas a concentração de carbono em uma posição 3,5 mm abaixo da superfície é de 0,30 % p, determine a temperatura na qual o tratamento foi conduzido.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma liga de ferro-carbono com estrutura cristalina CFC (Cúbica de Face Centrada) que inicialmente tem 0,10% de carbono. Essa liga foi submetida a um processo de carbonetação, ou seja, foi enriquecida com carbono, em uma temperatura alta e em uma atmosfera onde a concentração de carbono na superfície é mantida em 1,10% de carbono. Após 48 horas, a concentração de carbono a 3,5 mm abaixo da superfície é de 0,30%. Nosso objetivo é determinar a temperatura na qual esse tratamento foi realizado.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre difusão de carbono em ligas metálicas, aplicar a Lei de Difusão de Fick e usar a Equação de Arrhenius que relaciona a difusividade com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a difusão é o processo pelo qual átomos se movimentam de uma região de maior concentração para uma de menor concentração. No caso, o carbono está se difundindo da superfície da liga para o interior.
A Lei de Difusão de Fick nos ajuda a descrever como a concentração de um elemento muda ao longo do tempo e da distância. Para um caso de superfície plana e sem variações laterais, a solução da segunda Lei de Fick para difusão em um meio semi-infinito é dada por:
C(x,t) = Cs - (Cs - Ci) cdot erf(x2raizD t)
Onde:
  • é a concentração no interior a uma distância da superfície após um tempo .
  • é a concentração na superfície.
  • é a concentração inicial no interior.
  • é o coeficiente de difusão.
  • é a função erro.

Passo 3

Vamos organizar os dados fornecidos:
  • Concentração inicial no interior ( ): 0,10%
  • Concentração na superfície ( ): 1,10%
  • Concentração a 3,5 mm da superfície após 48 horas ( ): 0,30%
  • Tempo ( ): 48 horas = 172800 segundos (já que 1 hora = 3600 segundos)
  • Distância ( ): 3,5 mm = 0,0035 m
Queremos encontrar a temperatura, mas primeiro precisamos encontrar o coeficiente de difusão .

Passo 4

Primeiro, isolamos a função erro na equação de Fick:
erf(x2raizD t) = Cs - C(x,t)Cs - Ci
Substituindo os valores:
erf(0,00352raizD cdot 172800) = 1,10 - 0,301,10 - 0,10 = 0,801,00 = 0,80
Agora, precisamos encontrar o argumento da função erro que resulta em 0,80. Consultando a tabela da função erro ou usando uma calculadora inversa, encontramos:
erf^-1(0,80) approx 0,9062
Então:
0,00352raizD cdot 172800 = 0,9062

Passo 5

Agora, vamos resolver para 2raizD cdot 172800 = 0,00350,9062 :
0,00350,9062 approx 0,00386 , m
Calculando o lado direito:
raizD cdot 172800 = 0,003862 approx 0,00193 , m
Então:
D cdot 172800 = (0,00193)^2 approx 3,73 times 10^-6 , m^2/s^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
D = 3,73 times 10^-6172800 approx 2,16 times 10^-11 , m^2/s
Finalmente, isolamos :

Passo 6

Agora que temos o coeficiente de difusão D = D0 exp(-QR T) , precisamos relacioná-lo com a temperatura. A relação entre e a temperatura é dada pela Equação de Arrhenius:
Onde:
  • é o fator pré-exponencial (constante).
  • é a energia de ativação para a difusão.
  • é a constante dos gases (8,314 J/mol·K).
  • é a temperatura em Kelvin.
Para encontrar , precisaríamos conhecer e . Como esses valores não foram fornecidos, assumiremos que são conhecidos ou que precisamos expressar em termos desses parâmetros.

Passo 7

Isolando ln D = ln D0 - QR T na equação de Arrhenius:
QR T = ln D0 - ln D
Rearranjando:
T = QR (ln D0 - ln D)

Passo 8

Portanto, a temperatura T = QR ln(D0D) na qual o tratamento foi conduzido é dada por:
Onde:
  • é a energia de ativação.
  • é o fator pré-exponencial.
  • é o coeficiente de difusão calculado ( ).
Sem os valores específicos de e , não podemos calcular um valor numérico para , mas expressamos a relação necessária para determinar a temperatura com os dados fornecidos.

Resposta

A temperatura do tratamento está dada por , onde é a energia de ativação e é o fator pré-exponencial específicos para o sistema ferro-carbono.

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