Uma liga metálica possui um teor de ferro médio de 5 %. Após modificações no processo de fabricação, uma amostra de 30 ligas revelou um teor médio de ferro de 4,8 %, com desvio padrão de 0,2 %. Teste a hipótese de que o teor de ferro diminuiu (nível de significância de 5 % ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma liga metálica tem, em média, 5% de ferro. Depois de mudar o processo de fabricação, foi feita uma amostra de 30 ligas que mostrou uma média de 4,8% de ferro, com desvio padrão de 0,2%. A missão é testar a hipótese de que o teor de ferro diminuiu, usando um nível de significância de 5%. Para resolver isso, vamos usar o teste de hipóteses para a média, especificamente o teste t, já que estamos trabalhando com uma amostra relativamente pequena e não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses:
  • Hipótese nula ( ): O teor médio de ferro não diminuiu, isto é, .
  • Hipótese alternativa ( ): O teor médio de ferro diminuiu, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico. Como a amostra é pequena e desconhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • é a média da amostra.
  • é a média sob a hipótese nula.
  • é o desvio padrão da amostra.
  • é o tamanho da amostra.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
t = 4,8 - 50,2 / raiz30 = -0,20,0365 approx -5,48

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico para o teste t com graus de liberdade e nível de significância de 5% para um teste unilateral (cauda esquerda).
Consultando uma tabela t, o valor crítico é aproximadamente í.

Passo 6

Comparamos o valor calculado do t com o t crítico:
-5,48 < -1,699
Como calculado é menor que crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Há evidências suficientes para concluir, ao nível de significância de 5%, que o teor médio de ferro na liga diminuiu.

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