Uma liga metálica possui um teor de ferro médio de . Após modificações no processo de fabricação, uma amostra de 30 ligas revelou um teor médio de ferro de , com desvio padrão de . Teste a hipótese de que o teor de ferro diminuiu (nível de significância de ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma liga metálica tem, em média, 5% de ferro. Depois de mudar o processo de fabricação, foi feita uma amostra de 30 ligas que mostrou uma média de 4,8% de ferro, com desvio padrão de 0,2%. A missão é testar a hipótese de que o teor de ferro diminuiu, usando um nível de significância de 5%. Para resolver isso, vamos usar o teste de hipóteses para a média, especificamente o teste t, já que estamos trabalhando com uma amostra relativamente pequena e não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses:
  • Hipótese nula ( ): O teor médio de ferro não diminuiu, isto é, .
  • Hipótese alternativa ( ): O teor médio de ferro diminuiu, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico. Como a amostra é pequena e desconhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t:
Onde:
  • é a média da amostra.
  • é a média sob a hipótese nula.
  • é o desvio padrão da amostra.
  • é o tamanho da amostra.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico para o teste t com graus de liberdade e nível de significância de 5% para um teste unilateral (cauda esquerda).
Consultando uma tabela t, o valor crítico é aproximadamente í.

Passo 6

Comparamos o valor calculado do t com o t crítico:
Como calculado é menor que crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Há evidências suficientes para concluir, ao nível de significância de 5%, que o teor médio de ferro na liga diminuiu.

Exercícios relacionados

O peso de chapas de aço foi medido em 35 amostras, com média de 120 kg e desvio padrão de 10 kg . Construa um intervalo de confiança de para o peso médio das chapas.
O teor de carbono de ligas metálicas foi medido antes e depois de uma alteração no processo de fabricação. Uma amostra de 10 ligas revelou os seguintes teores:
Antes:
Depois:
Teste se houve uma mudança significativa no teor de carbono (nível de significância de ).
Explique o processo de testar uma hipótese sobre a média de uma população com base em uma amostra.