Uma liga metálica possui um teor de ferro médio de
. Após modificações no processo de fabricação, uma amostra de 30 ligas revelou um teor médio de ferro de
, com desvio padrão de
. Teste a hipótese de que o teor de ferro diminuiu (nível de significância de
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma liga metálica tem, em média, 5% de ferro. Depois de mudar o processo de fabricação, foi feita uma amostra de 30 ligas que mostrou uma média de 4,8% de ferro, com desvio padrão de 0,2%. A missão é testar a hipótese de que o teor de ferro diminuiu, usando um nível de significância de 5%. Para resolver isso, vamos usar o teste de hipóteses para a média, especificamente o teste t, já que estamos trabalhando com uma amostra relativamente pequena e não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses:
- Hipótese nula (
): O teor médio de ferro não diminuiu, isto é, . - Hipótese alternativa (
): O teor médio de ferro diminuiu, ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico. Como a amostra é pequena e desconhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t:
Onde:
-
é a média da amostra. -
é a média sob a hipótese nula. -
é o desvio padrão da amostra. -
é o tamanho da amostra.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico para o teste t com
graus de liberdade e nível de significância de 5% para um teste unilateral (cauda esquerda).
Consultando uma tabela t, o valor crítico é aproximadamente
.
Passo 6
Comparamos o valor calculado do t com o t crítico:
Como
calculado é menor que
crítico, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Há evidências suficientes para concluir, ao nível de significância de 5%, que o teor médio de ferro na liga diminuiu.
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para o peso médio das chapas.
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Antes:
Depois:
Teste se houve uma mudança significativa no teor de carbono (nível de significância de ).
Antes:
Depois:
Teste se houve uma mudança significativa no teor de carbono (nível de significância de
Explique o processo de testar uma hipótese sobre a média de uma população com base em uma amostra.