O teor de carbono de ligas metálicas foi medido antes e depois de uma alteração no processo de fabricação. Uma amostra de 10 ligas revelou os seguintes teores:
Antes:
Depois:
Teste se houve uma mudança significativa no teor de carbono (nível de significância de
).
Antes:
Depois:
Teste se houve uma mudança significativa no teor de carbono (nível de significância de
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos os teores de carbono de 10 ligas metálicas medidos antes e depois de uma alteração no processo de fabricação. Queremos saber se essa mudança no processo realmente afetou o teor de carbono de forma significativa, considerando um nível de significância de 5%. Para resolver isso, vamos usar um teste estatístico que compara duas amostras relacionadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos organizar os dados. Vamos listar os teores de carbono antes e depois:
Antes: 1,0 %, 1,1 %, 1,2 %, 1,1 %, 1,0 %, 1,2 %, 1,1 %, 1,0 %, 1,2 %, 1,1 %
Depois: 1,0 %, 1,0 %, 1,1 %, 1,0 %, 1,0 %, 1,1 %, 1,0 %, 1,0 %, 1,1 %, 1,0 %
Passo 3
Como temos duas medidas (antes e depois) para os mesmos itens (as ligas metálicas), vamos usar o Teste de Hipótese para Amostras Pareadas. Esse teste verifica se a média das diferenças entre as duas medições é significativamente diferente de zero.
Passo 4
Primeiro, calculamos a diferença entre as medições de “Antes” e “Depois” para cada amostra:
Diferença = Antes - Depois
Vamos calcular:
LIGA | Antes | Depois | Diferença |
---|---|---|---|
1 | 1,0 % | 1,0 % | 0,0 % |
2 | 1,1 % | 1,0 % | 0,1 % |
3 | 1,2 % | 1,1 % | 0,1 % |
4 | 1,1 % | 1,0 % | 0,1 % |
5 | 1,0 % | 1,0 % | 0,0 % |
6 | 1,2 % | 1,1 % | 0,1 % |
7 | 1,1 % | 1,0 % | 0,1 % |
8 | 1,0 % | 1,0 % | 0,0 % |
9 | 1,2 % | 1,1 % | 0,1 % |
10 | 1,1 % | 1,0 % | 0,1 % |
Passo 5
Agora, calculamos a média das diferenças (
) e o desvio padrão das diferenças (
).
Somando as diferenças:
Média das diferenças:
Vamos calcular o desvio padrão das diferenças:
Primeiro, calculamos cada diferença menos a média elevada ao quadrado:
Somando esses valores:
Variância:
Desvio padrão:
Passo 6
Vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
Onde:
-
é a média das diferenças, -
é o desvio padrão das diferenças, -
é o número de pares (10 ligas).
Passo 7
Agora, precisamos determinar o valor crítico para o teste t com
graus de liberdade e nível de significância de 5% (teste bicaudal).
Consultando a tabela t, para 9 graus de liberdade e
, o valor crítico é aproximadamente 2,262.
Passo 8
Comparamos o valor calculado de t (4,49) com o valor crítico (2,262):
- Se
, rejeitamos a hipótese nula. - Aqui,
, então rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Houve uma mudança significativa no teor de carbono das ligas metálicas após a alteração no processo de fabricação, com nível de significância de 5 %.
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).
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