O teor de carbono de ligas metálicas foi medido antes e depois de uma alteração no processo de fabricação. Uma amostra de 10 ligas revelou os seguintes teores:
Antes: 1,0 %, 1,1 %, 1,2 %, 1,1 %, 1,0 %, 1,2 %, 1,1 %, 1,0 %, 1,2 %, 1,1 %
Depois: 1,0 %, 1,0 %, 1,1 %, 1,0 %, 1,0 %, 1,1 %, 1,0 %, 1,0 %, 1,1 %, 1,0 %
Teste se houve uma mudança significativa no teor de carbono (nível de significância de 5 % ).

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos os teores de carbono de 10 ligas metálicas medidos antes e depois de uma alteração no processo de fabricação. Queremos saber se essa mudança no processo realmente afetou o teor de carbono de forma significativa, considerando um nível de significância de 5%. Para resolver isso, vamos usar um teste estatístico que compara duas amostras relacionadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos organizar os dados. Vamos listar os teores de carbono antes e depois:
Antes: 1,0 %, 1,1 %, 1,2 %, 1,1 %, 1,0 %, 1,2 %, 1,1 %, 1,0 %, 1,2 %, 1,1 %
Depois: 1,0 %, 1,0 %, 1,1 %, 1,0 %, 1,0 %, 1,1 %, 1,0 %, 1,0 %, 1,1 %, 1,0 %

Passo 3

Como temos duas medidas (antes e depois) para os mesmos itens (as ligas metálicas), vamos usar o Teste de Hipótese para Amostras Pareadas. Esse teste verifica se a média das diferenças entre as duas medições é significativamente diferente de zero.

Passo 4

Primeiro, calculamos a diferença entre as medições de “Antes” e “Depois” para cada amostra:
Diferença = Antes - Depois
Vamos calcular:
LIGA Antes Depois Diferença
1 1,0 % 1,0 % 0,0 %
2 1,1 % 1,0 % 0,1 %
3 1,2 % 1,1 % 0,1 %
4 1,1 % 1,0 % 0,1 %
5 1,0 % 1,0 % 0,0 %
6 1,2 % 1,1 % 0,1 %
7 1,1 % 1,0 % 0,1 %
8 1,0 % 1,0 % 0,0 %
9 1,2 % 1,1 % 0,1 %
10 1,1 % 1,0 % 0,1 %

Passo 5

Agora, calculamos a média das diferenças ( (0 - 0,07)^2 &= 0,0049 (0,1 - 0,07)^2 &= 0,0009 (0,1 - 0,07)^2 &= 0,0009 (0,1 - 0,07)^2 &= 0,0009 (0 - 0,07)^2 &= 0,0049 (0,1 - 0,07)^2 &= 0,0009 (0,1 - 0,07)^2 &= 0,0009 (0 - 0,07)^2 &= 0,0049 (0,1 - 0,07)^2 &= 0,0009 (0,1 - 0,07)^2 &= 0,0009 ) e o desvio padrão das diferenças ( ).
Somando as diferenças:
Média das diferenças:
Vamos calcular o desvio padrão das diferenças:
Primeiro, calculamos cada diferença menos a média elevada ao quadrado:
Somando esses valores:
Variância:
Desvio padrão:

Passo 6

Vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
t = bardsd / raizn = 0,070,0493 / raiz10 approx 0,070,0156 approx 4,49
Onde:
  • é a média das diferenças,
  • é o desvio padrão das diferenças,
  • é o número de pares (10 ligas).

Passo 7

Agora, precisamos determinar o valor crítico para o teste t com graus de liberdade e nível de significância de 5% (teste bicaudal).
Consultando a tabela t, para 9 graus de liberdade e , o valor crítico é aproximadamente 2,262.

Passo 8

Comparamos o valor calculado de t (4,49) com o valor crítico (2,262):
  • Se í, rejeitamos a hipótese nula.
  • Aqui, , então rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Houve uma mudança significativa no teor de carbono das ligas metálicas após a alteração no processo de fabricação, com nível de significância de 5 %.

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