a) lim 1x^2-4 quando
checkmark x 2^+
checkmark x 2^-
checkmark x -2^+
checkmark x -2^-
b) lim x^2-3 x+2x^3-2 x^2 quando
checkmark x 2^+
checkmark x 2^-
checkmark x 2
checkmark Podemos dizer algo sobre o limite quando x 0 ? O quê?
Resposta: +infty ;-infty ;-infty ;+infty ;-infty ; 14 ; 14 ; 14 ; 14 ; o limite não existe

Passo 1

Vamos resolver alguns limites envolvendo funções racionais. No primeiro exercício (a), precisamos calcular o limite de 1x^2-4 quando x se aproxima de 2 e de -2 por diferentes direções. No segundo exercício (b), vamos calcular o limite de x^2-3x+2x^3-2x^2 quando x se aproxima de 2 e também analisar o limite quando x se aproxima de 0. Para resolver esses limites, vamos precisar entender como se comporta uma função próxima aos pontos onde o denominador se torna zero, resultando em assinaturas de infinito ou indefinido.

Passo 2

Exercício a) Vamos primeiro analisar o limite de 1x^2-4 quando x se aproxima de 2 e de -2.
Primeiro, notamos que x^2 - 4 pode ser fatorado como (x-2)(x+2). Então, nosso denominador se torna zero quando x = 2 ou x = -2, o que indica que podemos ter comportamentos assimptóticos nesses pontos.

Passo 3

1. limx to 2^+ 1x^2-4
Quando x se aproxima de 2 por valores maiores que 2 ( 2^+), vamos substituir valores ligeiramente maiores que 2 na expressão (x-2)(x+2).
  • Se x > 2, então (x-2) é positivo e (x+2) também é positivo.
  • Portanto, x^2-4 é positivo, e 1x^2-4 tende a +infty à medida que o denominador se aproxima de zero positivo.

Passo 4

2. limx to 2^- 1x^2-4
Agora, quando x se aproxima de 2 por valores menores que 2 ( 2^-):
  • Se x < 2, então (x-2) é negativo, mas (x+2) ainda é positivo.
  • Portanto, x^2-4 é negativo, e 1x^2-4 tende a -infty à medida que o denominador se aproxima de zero negativo.

Passo 5

3. limx to -2^+ 1x^2-4
Agora, vamos para x se aproximando de -2 pela direita ( -2^+):
  • Se x > -2, então (x+2) é positivo, mas (x-2) é negativo.
  • Portanto, x^2-4 é negativo, e 1x^2-4 tende a -infty à medida que o denominador se aproxima de zero negativo.

Passo 6

4. limx to -2^- 1x^2-4
Finalmente, para x se aproximando de -2 pela esquerda ( -2^-):
  • Se x < -2, então ambos (x-2) e (x+2) são negativos.
  • Portanto, x^2-4 é positivo, e 1x^2-4 tende a +infty à medida que o denominador se aproxima de zero positivo.

Passo 7

Exercício b) Agora, vamos calcular o limite de x^2-3x+2x^3-2x^2 quando x se aproxima de 2 e analisar o comportamento quando x se aproxima de 0.
Primeiro, simplificamos a expressão:
  • O numerador x^2-3x+2 pode ser fatorado como (x-1)(x-2).
  • O denominador x^3-2x^2 pode ser fatorado como x^2(x-2).
Então, a expressão simplificada é (x-1)(x-2)x^2(x-2). Podemos cancelar o termo (x-2), desde que x neq 2:
(x-1)x^2.
Agora, vamos calcular os limites.

Passo 8

1. limx to 2^+ x^2-3x+2x^3-2x^2
Usando a expressão simplificada x-1x^2, substituímos x = 2:
2-12^2 = 14.

Passo 9

2. limx to 2^- x^2-3x+2x^3-2x^2
Da mesma forma, substituímos x = 2 na expressão simplificada:
2-12^2 = 14.

Passo 10

3. limx to 2 x^2-3x+2x^3-2x^2
Como os limites pelo lado positivo e negativo são iguais, o limite existe e é igual a 14.

Passo 11

4. limx to 0 x^2-3x+2x^3-2x^2
Substituindo x = 0 na expressão original:
0^2-3(0)+20^3-2(0)^2 = 20.
Como o denominador se aproxima de 0 e o numerador é positivo, o limite tende a +infty.
No entanto, precisamos verificar o comportamento de ambos os lados:
  • Se x to 0^+, a expressão tende a +infty.
  • Se x to 0^-, a expressão tende a -infty.
Como os limites por ambos os lados são diferentes, dizemos que o limite não existe.

Resposta

+infty ;-infty ;-infty ;+infty ;-infty ; 14 ; 14 ; 14 ; 14 ; o limite não existe.

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