a) quando




b) quando



Podemos dizer algo sobre o limite quando ? O quê?
Resposta: o limite não existe

Passo 1

Vamos resolver alguns limites envolvendo funções racionais. No primeiro exercício (a), precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e de por diferentes direções. No segundo exercício (b), vamos calcular o limite de quando se aproxima de e também analisar o limite quando se aproxima de . Para resolver esses limites, vamos precisar entender como se comporta uma função próxima aos pontos onde o denominador se torna zero, resultando em assinaturas de infinito ou indefinido.

Passo 2

Exercício a) Vamos primeiro analisar o limite de quando se aproxima de e de .
Primeiro, notamos que pode ser fatorado como . Então, nosso denominador se torna zero quando ou , o que indica que podemos ter comportamentos assimptóticos nesses pontos.

Passo 3

1.
Quando se aproxima de por valores maiores que ( ), vamos substituir valores ligeiramente maiores que na expressão .
  • Se , então é positivo e também é positivo.
  • Portanto, é positivo, e tende a à medida que o denominador se aproxima de zero positivo.

Passo 4

2.
Agora, quando se aproxima de por valores menores que ( ):
  • Se , então é negativo, mas ainda é positivo.
  • Portanto, é negativo, e tende a à medida que o denominador se aproxima de zero negativo.

Passo 5

3.
Agora, vamos para se aproximando de pela direita ( ):
  • Se , então é positivo, mas é negativo.
  • Portanto, é negativo, e tende a à medida que o denominador se aproxima de zero negativo.

Passo 6

4.
Finalmente, para se aproximando de pela esquerda ( ):
  • Se , então ambos e são negativos.
  • Portanto, é positivo, e tende a à medida que o denominador se aproxima de zero positivo.

Passo 7

Exercício b) Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de e analisar o comportamento quando se aproxima de .
Primeiro, simplificamos a expressão:
  • O numerador pode ser fatorado como .
  • O denominador pode ser fatorado como .
Então, a expressão simplificada é . Podemos cancelar o termo , desde que :
.
Agora, vamos calcular os limites.

Passo 8

1.
Usando a expressão simplificada , substituímos :
.

Passo 9

2.
Da mesma forma, substituímos na expressão simplificada:
.

Passo 10

3.
Como os limites pelo lado positivo e negativo são iguais, o limite existe e é igual a .

Passo 11

4.
Substituindo na expressão original:
.
Como o denominador se aproxima de e o numerador é positivo, o limite tende a .
No entanto, precisamos verificar o comportamento de ambos os lados:
  • Se , a expressão tende a .
  • Se , a expressão tende a .
Como os limites por ambos os lados são diferentes, dizemos que o limite não existe.

Resposta

o limite não existe.

Exercícios relacionados

a)
b)
Resposta:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Resposta:
Resposta: 0; sim
a)
b)
c)
Resposta: