a)
quando
b)
quando
Podemos dizer algo sobre o limite quando
? O quê?
Resposta:
o limite não existe
b)
Resposta:
Passo 1
Vamos resolver alguns limites envolvendo funções racionais. No primeiro exercício (a), precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e de
por diferentes direções. No segundo exercício (b), vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e também analisar o limite quando
se aproxima de
. Para resolver esses limites, vamos precisar entender como se comporta uma função próxima aos pontos onde o denominador se torna zero, resultando em assinaturas de infinito ou indefinido.
Passo 2
Exercício a) Vamos primeiro analisar o limite de
quando
se aproxima de
e de
.
Primeiro, notamos que
pode ser fatorado como
. Então, nosso denominador se torna zero quando
ou
, o que indica que podemos ter comportamentos assimptóticos nesses pontos.
Passo 3
1.
Quando
se aproxima de
por valores maiores que
(
), vamos substituir valores ligeiramente maiores que
na expressão
.
- Se
, então é positivo e também é positivo. - Portanto,
é positivo, e tende a à medida que o denominador se aproxima de zero positivo.
Passo 4
2.
Agora, quando
se aproxima de
por valores menores que
(
):
- Se
, então é negativo, mas ainda é positivo. - Portanto,
é negativo, e tende a à medida que o denominador se aproxima de zero negativo.
Passo 5
3.
Agora, vamos para
se aproximando de
pela direita (
):
- Se
, então é positivo, mas é negativo. - Portanto,
é negativo, e tende a à medida que o denominador se aproxima de zero negativo.
Passo 6
4.
Finalmente, para
se aproximando de
pela esquerda (
):
- Se
, então ambos e são negativos. - Portanto,
é positivo, e tende a à medida que o denominador se aproxima de zero positivo.
Passo 7
Exercício b) Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e analisar o comportamento quando
se aproxima de
.
Primeiro, simplificamos a expressão:
- O numerador
pode ser fatorado como . - O denominador
pode ser fatorado como .
Então, a expressão simplificada é
. Podemos cancelar o termo
, desde que
:
Agora, vamos calcular os limites.
Passo 8
1.
Usando a expressão simplificada
, substituímos
:
Passo 9
2.
Da mesma forma, substituímos
na expressão simplificada:
Passo 10
3.
Como os limites pelo lado positivo e negativo são iguais, o limite existe e é igual a
.
Passo 11
4.
Substituindo
na expressão original:
Como o denominador se aproxima de
e o numerador é positivo, o limite tende a
.
No entanto, precisamos verificar o comportamento de ambos os lados:
- Se
, a expressão tende a . - Se
, a expressão tende a .
Como os limites por ambos os lados são diferentes, dizemos que o limite não existe.
Resposta
Exercícios relacionados
a)
b)
Resposta:
b)
Resposta:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Resposta:
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Resposta:
Resposta: 0; sim
a)
b)
c)
Resposta:
b)
c)
Resposta: