lim x 0^+(1+1x)^x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo Diferencial, mais especificamente estudando limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e usar propriedades de logaritmos para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Quando temos uma função na forma L = limx to 0^+ (1 + 1x)^x , é útil aplicar o logaritmo natural para transformar a potência em multiplicação. Então, vamos chamar o limite de ln L = limx to 0^+ x cdot ln(1 + 1x) :
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 3

Agora, fazemos uma substituição para facilitar o cálculo. Vamos definir ln L = limt to +infty 1t cdot ln(1 + t) . Quando se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ), tende para . Substituindo na expressão:

Passo 4

Observamos que quando ln L = limt to +infty ln tt tende para o infinito, é aproximadamente igual a , já que para valores grandes de , o “+1” se torna irrelevante. Então, simplificamos a expressão:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite ln L = 0 . Sabemos que o logaritmo cresce mais lentamente que qualquer função polinomial. Portanto, à medida que tende para o infinito, tende para 0.

Passo 6

Se L = e^0 = 1 , então, aplicando a função exponencial dos dois lados, temos:

Resposta

Portanto, o limite é igual a 1.

Exercícios relacionados

Calcule o valor de cada um dos limites abaixo.
i) lim x 0(3-7 x-5 x^2);
xv) lim x raiz2 2 x^2-x3 x;
xxvii) lim y -2 y^3+8y+2;
ii) lim x 3(3 x^2-7 x+2);
xvi) lim x 2 x raizx-raiz23 x-4; xxviii) lim x 1 raizx-1x-1;
iii) lim x -1(-x^5+6 x^4+2);
xvii) lim x 5(3 x-7);
xxix) lim x -3 raizx^2-92 x^2+7 x+3;
v) lim x -1[(x+4)^3(x+2)^-1];
xviii) lim x 2(x^2+2 x-1);
x x x) lim x 0 raizx+2-raiz2x;
vi) lim x 0[(x-2)^10(x+4)^2;
xix) lim x -2(x^3+8);
xxxi) lim x 1 raiz[3]x-1x-1;
vii) lim x 2 x+43 x-1;
xx) lim x 3 4 x-55 x-1;
viii) lim t 2 t+3t+2;
xxi) lim t 2 t^2-52 t^3+6;
xxxii) lim h 0 raiz[3]h+1-1h;
ix) lim x 1 x^2-1x-1;
xxii) lim x 1 raiz8 x+1x+3;
xxxiii) lim x -1 2 x^2-x-3x^3+2 x^2+6 x+5;
x) lim t 2 t^2+5 t+6t+2;
xxiii) lim x 4 raiz[3]x^2-3 x+42 x^2-x-1;
xxxiv) lim y 4 2 y^3-11 y^2+10 y+83 y^3-17 y^2+16 y+16;
xi) lim t 2 t^2-5 t+6t-2;
xxiv) lim x 7 x^2-49x-7;
x x x v) lim x 3 2 x^3-5 x^2-2 x-34 x^3-13 x^2+4 x-3.
xii) lim s 12 s+42 s;
xxv) lim x 4 3 x^2-8 x-162 x^2-9 x+4
xxxvi) lim t 4 2 t^3-11 t^2+10 t+83 t^3-17 t^2+16 t+16;
xiii) lim x 4 raiz[3]2 x+3;
x x v i) lim x -32 4 x^2-92 x+3;
xxxvii) lim x 3 2 x^3-5 x^2-2 x-34 x^3-13 x^2+4 x-3;
xiv) lim x 7(3 x+2)^2 / 3;
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a) A=1
b) A = raiz(3)(2023 * pi)
c) A = raiz(2023)(pi)
d) A = raiz(3) ^ (1/2023)
e) A = raiz(3 * pi)^(1/2023)