lim x 0^+(1+1x)^x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo Diferencial, mais especificamente estudando limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e usar propriedades de logaritmos para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Quando temos uma função na forma L = limx to 0^+ (1 + 1x)^x , é útil aplicar o logaritmo natural para transformar a potência em multiplicação. Então, vamos chamar o limite de ln L = limx to 0^+ x cdot ln(1 + 1x) :
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 3

Agora, fazemos uma substituição para facilitar o cálculo. Vamos definir ln L = limt to +infty 1t cdot ln(1 + t) . Quando se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ), tende para . Substituindo na expressão:

Passo 4

Observamos que quando ln L = limt to +infty ln tt tende para o infinito, é aproximadamente igual a , já que para valores grandes de , o “+1” se torna irrelevante. Então, simplificamos a expressão:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite ln L = 0 . Sabemos que o logaritmo cresce mais lentamente que qualquer função polinomial. Portanto, à medida que tende para o infinito, tende para 0.

Passo 6

Se L = e^0 = 1 , então, aplicando a função exponencial dos dois lados, temos:

Resposta

Portanto, o limite é igual a 1.

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