,
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está na área de Cálculo Diferencial, mais especificamente estudando limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais e usar propriedades de logaritmos para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Quando temos uma função na forma
, é útil aplicar o logaritmo natural para transformar a potência em multiplicação. Então, vamos chamar o limite de
:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 3
Agora, fazemos uma substituição para facilitar o cálculo. Vamos definir
. Quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo (
),
tende para
. Substituindo na expressão:
Passo 4
Observamos que quando
tende para o infinito,
é aproximadamente igual a
, já que para valores grandes de
, o “+1” se torna irrelevante. Então, simplificamos a expressão:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o limite
. Sabemos que o logaritmo cresce mais lentamente que qualquer função polinomial. Portanto, à medida que
tende para o infinito,
tende para 0.
Passo 6
Se
, então, aplicando a função exponencial dos dois lados, temos:
Resposta
Portanto, o limite
é igual a 1.