Sabendo-se que e que , pode-se concluir que
a) A=1
b) A = raiz(3)(2023 * pi)
c) A = raiz(2023)(pi)
d) A = raiz(3) ^ (1/2023)
e) A = raiz(3 * pi)^(1/2023)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma função trigonométrica e nos informa que a 2023ª derivada dessa função em é igual a 3. Nosso objetivo é descobrir o valor de que satisfaz essa condição.
Matéria envolvida: Derivadas de funções trigonométricas e derivadas de ordem elevada.
O que vamos precisar: Entender como derivar funções trigonométricas repetidamente e reconhecer padrões nas derivadas de alta ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como derivar funções trigonométricas básicas. Sabemos que:
Cada vez que derivamos essas funções, elas se transformam em outra função trigonométrica, e um fator de aparece devido da regra da cadeia.
Passo 3
Vamos derivar algumas vezes para identificar um padrão:
1ª derivada:
2ª derivada:
3ª derivada:
4ª derivada:
Percebemos que a cada 4 derivadas, a função retorna a uma forma semelhante à original, apenas multiplicada por .
Passo 4
Como precisamos da 2023ª derivada, vamos ver como isso se encaixa no ciclo de 4 derivadas que identificamos. Calculamos o resto da divisão de 2023 por 4:
Isso significa que a 2023ª derivada é equivalente à 3ª derivada no ciclo.
Passo 5
Da 3ª derivada que calculamos:
Agora, vamos avaliar essa derivada em :
Sabemos que e , então:
Passo 6
Foi dado no enunciado que essa derivada é igual a 3:
Para encontrar , tiramos a raiz cúbica de ambos os lados: