(1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
c. lim x 4 raiz4 x+9-5raizx-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para determinar se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor. Vamos usar conceitos de limites e técnicas de álgebra para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz4(4)+9-5raiz4-2 = raiz16+9-52-2 = raiz25-50 = 5-50 = 00 diretamente na expressão. Substituindo, temos:
Essa forma é indeterminada, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos racionalizar tanto o numerador quanto o denominador. Começaremos pelo numerador. Multiplicamos e dividimos o numerador pela sua conjugada:
raiz4x+9-5raizx-2 times raiz4x+9+5raiz4x+9+5
Isso nos dá:
(4x + 9) - 25(raizx - 2)(raiz4x+9 + 5)
Simplificando o numerador:
4x + 9 - 25 = 4x - 16 = 4(x - 4)
Agora, nossa expressão fica:
4(x - 4)(raizx - 2)(raiz4x+9 + 5)

Passo 4

Agora, vamos notar que raizx - 2 = x - 4raizx + 2 pode ser reescrito como 4(x - 4)(x - 4raizx + 2)(raiz4x+9 + 5) = 4(x - 4)(raizx + 2)(x - 4)(raiz4x+9 + 5) , usando outra racionalização. Vamos aplicar isso:
4(raizx + 2)raiz4x+9 + 5
Substituindo na nossa expressão:
Cancelando o termo :

Passo 5

Agora, podemos substituir 4(raiz4 + 2)raiz4(4)+9 + 5 = 4(2 + 2)raiz16 + 9 + 5 = 4 times 4raiz25 + 5 = 165 + 5 = 1610 = 1,6 nessa expressão simplificada:

Resposta

O limite existe e o seu valor é .

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