Se
e
, ent
ao
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas funções,
e
, e estamos observando o comportamento delas quando
se aproxima de um valor
. A questão nos diz que:
-
(ou seja, vai para menos infinito) -
(ou seja, vai para mais infinito)
E a pergunta é sobre qual é o limite do produto dessas duas funções,
, quando
se aproxima de
. Vamos precisar entender como limites infinitos interagem quando multiplicamos duas funções que vão para infinito, mas com sinais diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ter um limite igual a
ou
. Quando dizemos que
, isso quer dizer que, à medida que
se aproxima de
, os valores de
ficam cada vez mais negativos, sem limites. Similarmente,
significa que
fica cada vez maior positivamente.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
. Quando uma função vai para
e a outra para
, o produto delas pode ter diferentes comportamentos dependendo de quão rápido cada função está crescendo.
Mas, na questão, já é sugerido que o limite do produto seja um número real específico,
. Isso acontece quando uma função está se aproximando de
de maneira inversamente proporcional à outra que está se aproximando de
.
Passo 4
Para que
, precisamos que
e
estejam relacionadas de tal forma que
quando
está perto de
. Vamos ver isso matematicamente:
Se
, então:
Isso explica por que o limite do produto seria
.
Passo 5
Portanto, se as funções
e
estão relacionadas dessa forma específica, onde uma é o inverso multiplicado por -1 da outra próxima a
, então o limite do produto delas quando
se aproxima de
será
.
Resposta
Portanto,
.
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Marque a alternativa correta:
0
Mostre que
tem pelo menos uma solu,
ao real.