lim x infty p x 2+x-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando tende a infinito da expressão . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como cada termo da função se comporta quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que temos:
p x^2 + x - x
Aí, vemos que os termos p x^2 e limx to infty p x^2 se cancelam:
Então, nosso limite agora é:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com quando cresce sem limites. Aqui, estamos lidando com um polinômio de segundo grau. Nesses casos, o comportamento do limite é principalmente determinado pelo termo de maior grau, que é nesse caso.

Passo 4

Consideramos dois cenários baseados no valor de :
  1. Se : Conforme aumenta, também aumenta sem limites, indo para .
  2. Se : Conforme aumenta, diminui sem limites, indo para .
  3. Se : A expressão se anula, mas nesse caso específico, como simplificamos para , o limite seria 0.

Resposta

O limite é:
limx to infty p x^2 = +infty & se p > 0, -infty & se p < 0

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