-lim x infty(raiz9 x^2+2 x-3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
-lim x infty(raiz9 x^2+2 x-3 x)
Aqui, estamos trabalhando com limites no infinito, que é parte do cálculo diferencial. Precisamos encontrar o comportamento da função conforme tende a infinito. Para resolver isso, vamos manipular a expressão para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
raiz9x^2 + 2x - 3x
Quando é muito grande, domina o termo . Então, podemos aproximar a raiz quadrada por , já que . No entanto, queremos a diferença exata, então precisamos manipular melhor a expressão.

Passo 3

Para lidar com a diferença de raízes, vamos multiplicar e dividir pela expressão conjugada. Ou seja, multiplicamos por raiz9x^2 + 2x - 3x = (raiz9x^2 + 2x - 3x)(raiz9x^2 + 2x + 3x)raiz9x^2 + 2x + 3x :
Isso é útil porque o numerador se simplifica usando a diferença de quadrados.

Passo 4

Simplificando o numerador:
(raiz9x^2 + 2x)^2 - (3x)^2 = 9x^2 + 2x - 9x^2 = 2x
Então, a expressão fica:
2xraiz9x^2 + 2x + 3x

Passo 5

Agora, vamos dividir numerador e denominador por 2xraiz9x^2 + 2x + 3x = 2raiz9 + 2x + 3 , o que ajuda a simplificar o limite:
Aqui, dividimos dentro da raiz por , já que tende ao infinito.

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite conforme limx infty 2raiz9 + 0 + 3 = 23 + 3 = 26 = 13 tende a infinito. Note que tende a 0:

Resposta

Portanto, o valor do limite é:
-13

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