lim x 0 x^3 sen 1x

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte problema: queremos encontrar o limite quando se aproxima de 0 da função . Estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento da função influencia o limite quando está perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Então, temos:
Isso significa que, independentemente do valor de -1 <= sen(1x) <= 1 , o seno nunca vai ultrapassar esses limites.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por - x^3 <= x^3 sen(1x) <= x^3 . Como é positivo quando está próximo de 0 (considerando valores positivos e negativos de ), mantemos a desigualdade:
Isso nos coloca a função entre duas funções que sabemos o que acontece quando se aproxima de 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites das duas extremidades:
limx to 0 -x^3 = 0 e limx to 0 x^3 = 0
Ambos os limites são 0 porque se aproxima de 0 quando se aproxima de 0.

Passo 5

Com base no Teorema do Sandwich (ou Teorema do Aperto), se uma função está “apertada” entre duas funções que têm o mesmo limite em um ponto, então o limite da função intermediária também é esse mesmo valor. Assim, já que:
e ambos os limites laterais são 0, concluímos que:

Resposta

O limite é 0.

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