$\lim _{x \rightarrow 0} x^{3} \operatorname{sen} \frac{1}{x}$

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte problema: queremos encontrar o limite quando se aproxima de 0 da função . Estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento da função influencia o limite quando está perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Então, temos:
Isso significa que, independentemente do valor de , o seno nunca vai ultrapassar esses limites.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por . Como é positivo quando está próximo de 0 (considerando valores positivos e negativos de ), mantemos a desigualdade:
Isso nos coloca a função entre duas funções que sabemos o que acontece quando se aproxima de 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites das duas extremidades:
Ambos os limites são 0 porque se aproxima de 0 quando se aproxima de 0.

Passo 5

Com base no Teorema do Sandwich (ou Teorema do Aperto), se uma função está “apertada” entre duas funções que têm o mesmo limite em um ponto, então o limite da função intermediária também é esse mesmo valor. Assim, já que:
e ambos os limites laterais são 0, concluímos que:

Resposta

O limite é 0.

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<html><head></head><body><div>(4) (3)<br>
-© Encontre uma fórmula para <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“
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</body></html>
(2)Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
-© Se e não existem, então não existe.
<html><head></head><body><div>Exercícios: <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.439ex;” xmlns=“
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