Passo 1
Então, a gente tem o seguinte problema: queremos encontrar o limite quando
se aproxima de 0 da função . Estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender como o comportamento da função influencia o limite quando
está perto de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Então, temos:
Isso significa que, independentemente do valor de
, o seno nunca vai ultrapassar esses limites.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por
. Como
é positivo quando
está próximo de 0 (considerando valores positivos e negativos de
), mantemos a desigualdade:
Isso nos coloca a função entre duas funções que sabemos o que acontece quando
se aproxima de 0.
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites das duas extremidades:
Ambos os limites são 0 porque
se aproxima de 0 quando
se aproxima de 0.
Passo 5
Com base no Teorema do Sandwich (ou Teorema do Aperto), se uma função está “apertada” entre duas funções que têm o mesmo limite em um ponto, então o limite da função intermediária também é esse mesmo valor. Assim, já que:
e ambos os limites laterais são 0, concluímos que:
Resposta
O limite é 0.