429)10(x)$
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o limite quando
tende ao infinito da expressão
. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo polinômios e funções exponenciais. Vamos precisar entender como essas funções se comportam quando
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. No numerador, temos
. Quando
fica muito grande, o termo
domina, então o numerador se comporta aproximadamente como
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador:
. Aqui, temos uma base
elevada a uma potência que também depende de
, ou seja,
. Quando
aumenta,
cresce como
, então podemos simplificar a base para
para facilitar a análise. Assim, o denominador fica aproximadamente
.
Passo 4
Agora, com o numerador e denominador simplificados, nossa expressão fica:
A parte importante aqui é
. Como
tende ao infinito, o expoente
se torna muito negativo, o que faz
tender a zero.
Passo 5
Então, colocando tudo junto:
Isso significa que conforme
cresce sem limites, a expressão inteira se aproxima de zero.
Resposta
O limite quando
tende a mais infinito é igual a
.
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E definida para todo