lim 1 0(e^-x i+t^2sen^2 t j+cos 2 t k)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de um vetor quando se aproxima de 0. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites aplicados a funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar analisar cada componente do vetor individualmente e aplicar as regras de limites que conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente limt to 0 e^-t = e^0 = 1 . A função exponencial é contínua, o que significa que podemos simplesmente substituir por 0 para encontrar o limite:
Então, a componente do vetor tende para 1.

Passo 3

Agora, vamos para a componente . Aqui, precisamos lembrar da regra importante de que:
Isso significa que:
Então, podemos reescrever a nossa expressão da seguinte forma:
Portanto, a componente limt to 0 sen tt = 1 também tende para 1.

Passo 4

Por último, temos a componente limt to 0 cos 2t = cos 0 = 1 . A função cosseno é contínua, então novamente podemos substituir por 0 diretamente:
Assim, a componente tende para 1.

Resposta

O limite do vetor quando i + j + k tende a 0 é:

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lim t inftylang<=e^t-1t, raiz1+t-1t, 3t+1rang<=
EXERCICIOS
r(t) = (sen(t), t)
r(t) = <t^3, t^2>