Verifique se cada uma das séries é absolutamente convergente, é condicionalmente convergente ou divergente (justifique sua resposta): sumn=1^+infty (-1)^n e^nn!.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso envolve entender conceitos de convergência de séries e como aplicar alguns testes de convergência. Vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série e aplicar testes específicos para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos dos termos:
sumn=1^+infty | (-1)^n e^nn! | = sumn=1^+infty e^nn!
Agora, precisamos ver se essa nova série converge.

Passo 3

Para determinar a convergência da série L = limn to infty e^n+1/(n+1)!e^n/n! = limn to infty e^n+1(n+1)! cdot n!e^n = limn to infty e cdot e^n(n+1) cdot n! cdot n!e^n = limn to infty en+1 = 0 , vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a analisar o limite do quociente entre termos consecutivos da série.
Vamos calcular:
Como , segundo o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Passo 4

Já que a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original também converge absolutamente. Quando uma série converge absolutamente, não precisamos nos preocupar com a alternância dos sinais dos termos; a convergência é garantida independentemente disso.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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