Passo 1
Vamos entender o enunciado. Queremos calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela direita (
) e pela esquerda (
). Para isso, vamos usar conhecimentos sobre limites, fatoração de expressões algébricas e o comportamento da função valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador
. Sabemos que
é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada assim:
Passo 3
Agora, substituímos a fatoração na expressão do limite:
Observamos que o denominador é o valor absoluto de
, que depende de como
se aproxima de
.
Passo 4
Vamos considerar os dois casos separadamente:
Quando
se aproxima de
pela direita (
):
Nesse caso,
é positivo, então
. A expressão fica:
Então, o limite é:
Quando
se aproxima de
pela esquerda (
):
Aqui,
é negativo, então
. A expressão fica:
Portanto, o limite é:
Resposta
O limite quando
se aproxima de
pela direita é
e pela esquerda é
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
A afirmação
é falsa ou verdadeira? Justifique.
é falsa ou verdadeira? Justifique.
b) Mostre que existe
tal que