Vamos lá! O enunciado pede para mostrar que existe um número positivo tal que, para todo maior que , a fração fica entre e . Isso está relacionado ao estudo de limites de funções racionais quando tende ao infinito. Para resolver, vamos analisar o comportamento dessa fração conforme cresce e encontrar um valor de que satisfaça a condição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração . Quando lidamos com limites no infinito para funções racionais (quociente de polinômios), o comportamento da função é determinado pelos maiores expoentes de no numerador e no denominador. Nesse caso, ambos têm .
Para simplificar, dividimos todos os termos do numerador e do denominador por :
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando tende ao infinito. Conforme cresce, as frações como e se tornam muito pequenas, praticamente zero. Então, o limite fica:
Isso significa que, para valores grandes de , a fração se aproxima de .
Passo 4
Agora queremos que essa fração fique entre e . Sabemos que a fração se aproxima de , então para suficientemente grande, ela estará próxima desse valor central.
Para garantir que , podemos encontrar um tal que, para todo , a diferença entre a fração e seja menor que .
Matematicamente, queremos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Simplificando o numerador:
Então, temos:
Passo 6
Para que essa desigualdade seja verdadeira, precisamos que:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por (assumindo que seja positivo para grande):
Passo 7
Rearranjando os termos:
Para grande, o termo domina, então essa desigualdade será verdadeira para suficientemente grande.
Resposta
Existe, de fato, um número positivo tal que para todo , a fração está entre e .