b) Mostre que existe r > 0 tal que
x > r => 1/4 < (x^3 + 3x - 1) / (2x^3 - 6x + 1) < 3/4

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para mostrar que existe um número positivo tal que, para todo maior que , a fração fica entre e . Isso está relacionado ao estudo de limites de funções racionais quando tende ao infinito. Para resolver, vamos analisar o comportamento dessa fração conforme cresce e encontrar um valor de que satisfaça a condição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Quando lidamos com limites no infinito para funções racionais (quociente de polinômios), o comportamento da função é determinado pelos maiores expoentes de no numerador e no denominador. Nesse caso, ambos têm .
Para simplificar, dividimos todos os termos do numerador e do denominador por :

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando tende ao infinito. Conforme cresce, as frações como e se tornam muito pequenas, praticamente zero. Então, o limite fica:
Isso significa que, para valores grandes de , a fração se aproxima de .

Passo 4

Agora queremos que essa fração fique entre e . Sabemos que a fração se aproxima de , então para suficientemente grande, ela estará próxima desse valor central.
Para garantir que , podemos encontrar um tal que, para todo , a diferença entre a fração e seja menor que .
Matematicamente, queremos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Simplificando o numerador:
Então, temos:

Passo 6

Para que essa desigualdade seja verdadeira, precisamos que:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por (assumindo que seja positivo para grande):

Passo 7

Rearranjando os termos:
Para grande, o termo domina, então essa desigualdade será verdadeira para suficientemente grande.

Resposta

Existe, de fato, um número positivo tal que para todo , a fração está entre e .

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