O limiar da audição humana a 4 kHz é de 10^-12 W / m^2. Sabendo-se que a velocidade do som no ar é de 340 m / s e a densidade do ar é rhoar=1.3 kg / m^3, determine as amplitudes das oscilações associadas as moléculas de ar nessa condição. Resp. 2,7 times 10^-12 m

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o limiar da audição humana a 4 kHz, que é a menor intensidade de som que conseguimos ouvir. A gente sabe que essa intensidade é 10^-12 W/m^2. Também nos dão a velocidade do som no ar, que é 340 m/s, e a densidade do ar, rhoar=1.3 kg/m^3. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a amplitude das oscilações das moléculas de ar quando essa intensidade sonora está presente. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas da física das ondas sonoras relacionadas à intensidade, densidade, velocidade do som e frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a intensidade ( I) de uma onda sonora está relacionada à amplitude das oscilações ( A), à densidade do meio ( rho), à velocidade do som ( v) e à frequência da onda ( f). A fórmula que liga esses conceitos é:
I = 12 rho v omega^2 A^2
Onde omega é a frequência angular, que está relacionada à frequência f pela relação:
omega = 2pi f

Passo 3

Nosso próximo passo é calcular a frequência angular ( omega). Sabemos que a frequência f é de 4 kHz, ou seja, 4000 Hz. Então:
omega = 2pi times 4000 , Hz approx 25132 , rad/s

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a fórmula da intensidade para resolvermos para a amplitude A. Queremos isolar A na equação:
I = 12 rho v omega^2 A^2
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por rho v omega^2, temos:
A^2 = 2Irho v omega^2
Então, tiramos a raiz quadrada para encontrar A:
A = raiz2Irho v omega^2

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que temos na equação:
  • Intensidade I = 10^-12 W/m^2
  • Densidade rho = 1.3 kg/m^3
  • Velocidade do som v = 340 m/s
  • Frequência angular omega approx 25132 , rad/s
Então:
A = raiz2 times 10^-121.3 times 340 times (25132)^2

Passo 6

Vamos calcular o denominador primeiro:
1.3 times 340 times (25132)^2 approx 1.3 times 340 times 6.31 times 10^8 approx 2.79 times 10^11
Então:
A = raiz2 times 10^-122.79 times 10^11 = raiz7.17 times 10^-24 approx 2.68 times 10^-12 m

Resposta

A amplitude das oscilações é aproximadamente 2,7 times 10^-12 m.

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