Um patinador em velocidade constante de
vai ao encontro de uma escadaria, batendo palma. O som produzido pelas palmas é refletido horizontalmente em cada degrau de 1 m de largura, fazendo com que o patinador perceba um som composto por vários tons. Mostre que a menor componente de frequência da onda sonora refletida percebida com um máximo de intensidade pelo patinador é de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um patinador que se move a uma velocidade constante de
em direção a uma escadaria. Quando ele bate palmas, o som produzido é refletido em cada degrau de 1 metro de largura. Devido a essas reflexões múltiplas, o patinador ouve um som com várias frequências diferentes. Nosso objetivo é mostrar que a menor frequência desse som percebido com máxima intensidade é de
.
Conteúdo da matéria: Para resolver esse problema, vamos precisar aplicar conceitos de ondas sonoras, reflexão e interferência, além de converter unidades de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade do patinador de $ km/h $ para $ m/s $, pois as outras medidas estão em metros e segundos.
A conversão de $ km/h $ para $ m/s $ é feita dividindo por 3,6:
Passo 3
Agora, consideramos que cada degrau da escadaria tem 1 metro de largura. Isso significa que, para cada degrau adicional, o som refletido percorre mais 1 metro a mais em direção ao patinador.
Conceito aplicado: A diferença de caminho percorrido pelo som refletido em degraus consecutivos cria uma diferença de tempo que pode levar à interferência construtiva ou destrutiva das ondas sonoras percebidas pelo patinador.
Passo 4
A diferença de tempo (
) entre os sons refletidos em dois degraus consecutivos é dada por:
onde:
-
(distância entre os degraus) -
é a velocidade do som no ar, que é aproximadamente
Calculando
:
Passo 5
Para que haja interferência construtiva máxima (máxima intensidade), a diferença de tempo deve corresponder a um múltiplo inteiro do período da onda sonora. Ou seja:
onde:
-
é um número inteiro (1, 2, 3, …) -
é a frequência da onda sonora
Rearranjando para encontrar
:
Passo 6
Queremos a menor frequência que satisfaça essa condição, ou seja, quando
:
Passo 7
No entanto, isso considera o som refletido diretamente sem o movimento do patinador. Como o patinador está se movendo em direção à fonte do som refletido, precisamos considerar o efeito Doppler, que altera a frequência percebida.
A frequência percebida
devido ao efeito Doppler é dada por:
onde:
-
(velocidade do patinador) -
(velocidade do som)
Substituindo
:
Resposta
A menor componente de frequência da onda sonora refletida percebida com um máximo de intensidade pelo patinador é de aproximadamente
.