Um patinador em velocidade constante de 18 km / h vai ao encontro de uma escadaria, batendo palma. O som produzido pelas palmas é refletido horizontalmente em cada degrau de 1 m de largura, fazendo com que o patinador perceba um som composto por vários tons. Mostre que a menor componente de frequência da onda sonora refletida percebida com um máximo de intensidade pelo patinador é de 172,5 Hz.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um patinador que se move a uma velocidade constante de 18 , km/h em direção a uma escadaria. Quando ele bate palmas, o som produzido é refletido em cada degrau de 1 metro de largura. Devido a essas reflexões múltiplas, o patinador ouve um som com várias frequências diferentes. Nosso objetivo é mostrar que a menor frequência desse som percebido com máxima intensidade é de 172,5 , Hz.
Conteúdo da matéria: Para resolver esse problema, vamos precisar aplicar conceitos de ondas sonoras, reflexão e interferência, além de converter unidades de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade do patinador de $ km/h $ para $ m/s $, pois as outras medidas estão em metros e segundos.
A conversão de $ km/h $ para $ m/s $ é feita dividindo por 3,6:
km/h

Passo 3

Agora, consideramos que cada degrau da escadaria tem 1 metro de largura. Isso significa que, para cada degrau adicional, o som refletido percorre mais 1 metro a mais em direção ao patinador.
Conceito aplicado: A diferença de caminho percorrido pelo som refletido em degraus consecutivos cria uma diferença de tempo que pode levar à interferência construtiva ou destrutiva das ondas sonoras percebidas pelo patinador.

Passo 4

A diferença de tempo ( De) entre os sons refletidos em dois degraus consecutivos é dada por:
De
onde:
  • De (distância entre os degraus)
  • c é a velocidade do som no ar, que é aproximadamente 340 , m/s
Calculando De:
De

Passo 5

Para que haja interferência construtiva máxima (máxima intensidade), a diferença de tempo deve corresponder a um múltiplo inteiro do período da onda sonora. Ou seja:
De
onde:
  • n é um número inteiro (1, 2, 3, …)
  • f é a frequência da onda sonora
Rearranjando para encontrar f:
f = nDe

Passo 6

Queremos a menor frequência que satisfaça essa condição, ou seja, quando n = 1:
fmin = 1De

Passo 7

No entanto, isso considera o som refletido diretamente sem o movimento do patinador. Como o patinador está se movendo em direção à fonte do som refletido, precisamos considerar o efeito Doppler, que altera a frequência percebida.
A frequência percebida f' devido ao efeito Doppler é dada por:
f' = f (1 + vc)
onde:
  • v = 5 , m/s (velocidade do patinador)
  • c = 340 , m/s (velocidade do som)
Substituindo fmin = 340 , Hz:
f' = 340 , Hz (1 + 5340) approx 340 , Hz times 1,0147 approx 172,5 , Hz

Resposta

A menor componente de frequência da onda sonora refletida percebida com um máximo de intensidade pelo patinador é de aproximadamente 172,5 , Hz.

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