Uma linha ferroviária soldada, de comprimento 15 km , é colocada sem juntas de expansão em um deserto onde as temperaturas da noite e do dia diferem em
. A área transversal do trilho é 3,6 10-3 m2. Os trilhos são feitos de aço, que tem modulo de eslasticidade
.
(b) Se o trilho é livre para expandir, por quanto seu comprimento muda entre noite e dia?
(b) Se o trilho é livre para expandir, por quanto seu comprimento muda entre noite e dia?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um trilho ferroviário de aço que está em um deserto onde a temperatura varia bastante entre o dia e a noite. O trilho tem 15 km de comprimento e a temperatura muda 50°C. Queremos descobrir quanto esse trilho vai se expandir ou contrair quando a temperatura muda, mas ele está livre para se expandir, ou seja, não há nenhuma restrição que impeça essa mudança de comprimento.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de expansão térmica dos materiais, que nos ajuda a calcular quanto um material se expande ou contrai quando há uma mudança de temperatura. Vamos precisar da fórmula da expansão térmica e dos dados fornecidos no problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica para a variação de comprimento devido à expansão térmica:
Onde:
-
é a variação de comprimento que queremos encontrar. -
é o coeficiente de dilatação térmica do material. -
é o comprimento inicial do material. -
é a mudança de temperatura.
No nosso caso:
Mas pera aí! O enunciado não nos dá diretamente o valor de
. Porém, temos o módulo de elasticidade
e a área transversal
. Vamos ver como podemos usar esses dados.
Passo 3
Sabemos que, quando um material está livre para se expandir, ele não desenvolve tensão interna (
). A tensão (
) no material é relacionada pela fórmula:
Onde
é a deformação (ou alongamento relativo), que também pode ser escrita como:
Como a tensão
, isso implica que a deformação
se houver restrição. Mas como o trilho está livre para se expandir, a deformação será apenas devido à mudança de temperatura, sem restrição. Então, voltamos à fórmula da expansão térmica.
Na verdade, para materiais que estão livres para se expandir, a variação de comprimento depende apenas do coeficiente de dilatação térmica, sem a necessidade de usar o módulo de elasticidade. Vamos então considerar que talvez precisemos usar o valor típico de
para o aço.
Passo 4
O coeficiente de dilatação térmica (
) para o aço geralmente está na ordem de
. Vamos usar esse valor para calcular a variação de comprimento.
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular:
Resposta
O comprimento do trilho muda em 9 metros entre a noite e o dia.