Durante uma expansão adiabática reversível de um gás ideal, a pressão e volume a qualquer momento são relacionados por
onde c e
são constantes.
Encontre o trabalho realizado pelo gás na expansão de um estado (P1, V1) para um estado (P2, V2).
Encontre o trabalho realizado pelo gás na expansão de um estado (P1, V1) para um estado (P2, V2).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui envolve uma expansão adiabática reversível de um gás ideal. Nosso objetivo é encontrar o trabalho que o gás realiza ao passar do estado (P₁, V₁) para o estado (P₂, V₂). Para isso, vamos precisar entender um pouco de termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos e como calcular trabalho em transformações de gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma expansão adiabática reversível. “Adiabática” significa que não há troca de calor com o ambiente durante o processo. “Reversível” indica que o processo pode ser invertido sem deixar alterações no ambiente. Para um gás ideal passando por esse tipo de expansão, a relação entre pressão § e volume (V) é dada por:
onde
é uma constante e
é um expoente que depende das propriedades do gás.
Passo 3
Nosso próximo passo é entender como calcular o trabalho realizado pelo gás durante essa expansão. O trabalho
em um processo que envolve mudança de volume é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
Como temos a relação
, podemos expressar
em função de
:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão de
na fórmula do trabalho:
Integrando essa expressão, temos:
Passo 5
A integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração. Como vamos calcular um intervalo específico de
a
, a constante se cancela na subtração.
Passo 6
Aplicando os limites de integração, temos:
Passo 7
Lembrando que
, podemos substituir
por
:
Simplificando, temos:
Resposta
O trabalho realizado pelo gás na expansão é dado por: