Durante uma expansão adiabática reversível de um gás ideal, a pressão e volume a qualquer momento são relacionados por P VY=c onde c e y são constantes.
Encontre o trabalho realizado pelo gás na expansão de um estado (P1, V1) para um estado (P2, V2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui envolve uma expansão adiabática reversível de um gás ideal. Nosso objetivo é encontrar o trabalho que o gás realiza ao passar do estado (P₁, V₁) para o estado (P₂, V₂). Para isso, vamos precisar entender um pouco de termodinâmica, especificamente sobre processos adiabáticos e como calcular trabalho em transformações de gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma expansão adiabática reversível. “Adiabática” significa que não há troca de calor com o ambiente durante o processo. “Reversível” indica que o processo pode ser invertido sem deixar alterações no ambiente. Para um gás ideal passando por esse tipo de expansão, a relação entre pressão § e volume (V) é dada por:
P V^y = c
onde é uma constante e é um expoente que depende das propriedades do gás.

Passo 3

Nosso próximo passo é entender como calcular o trabalho realizado pelo gás durante essa expansão. O trabalho W = integralV1^V2 P , dV em um processo que envolve mudança de volume é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
P = cV^y
Como temos a relação , podemos expressar em função de :

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de W = integralV1^V2 cV^y , dV na fórmula do trabalho:
W = c integralV1^V2 V^-y , dV
Integrando essa expressão, temos:

Passo 5

A integral de integral V^-y , dV = V^1 - y1 - y + C em relação a é:
onde é a constante de integração. Como vamos calcular um intervalo específico de a , a constante se cancela na subtração.

Passo 6

Aplicando os limites de integração, temos:
W = c1 - y ( V2^1 - y - V1^1 - y )

Passo 7

Lembrando que W = P1 V1^y1 - y ( V2^1 - y - V1^1 - y ) , podemos substituir W = P1 V1 - P2 V21 - y por :
Simplificando, temos:

Resposta

O trabalho realizado pelo gás na expansão é dado por:
W = P1 V1 - P2 V21 - y

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