2,5 moles de um gás ideal monoatômico estão inicialmente a T=300 K e P=1,0 atm. O gás é então levado ao seguinte ciclo: (i) A pressão e volume aumentam de tal forma que P é proporcional a checkmark, até
P=2,0 atm; (ii) a pressão é reduzida a volume constante para 1,0 atm; e (iii) o volume é reduzido a pressão constante até que o estado inicial seja alcançado.
(b) Encontre De e Q para cada etapa do processo.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos 2,5 moles de um gás ideal monoatômico que está inicialmente a uma temperatura de 300 K e pressão de 1,0 atm. Esse gás passa por um ciclo com três etapas diferentes:
  1. Primeira etapa: A pressão e o volume aumentam de forma que a pressão é proporcional ao volume, até que a pressão chegue a 2,0 atm.
  2. Segunda etapa: A pressão é reduzida de volta para 1,0 atm mantendo o volume constante.
  3. Terceira etapa: O volume é reduzido mantendo a pressão constante, até voltar ao estado inicial.
Precisamos encontrar a variação da energia interna ( De), o trabalho realizado ( W) e o calor trocado ( Q) em cada uma dessas etapas.
Para resolver isso, vamos precisar usar as leis dos gases ideais, as equações de trabalho para diferentes processos termodinâmicos e a primeira lei da termodinâmica. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeira Etapa: Pressão é proporcional ao Volume (P ∝ V) até P = 2,0 atm
Como a pressão é proporcional ao volume, podemos escrever P = kV, onde k é uma constante. Inicialmente, temos:
P1 = 1,0 , atm e V1 = nRTP1
Primeiro, calculamos o volume inicial usando a equação dos gases ideais:
V1 = nRTP1 = 2,5 times 0,0821 times 3001,0 approx 61,575 , L
Agora, na etapa onde P = kV, vamos encontrar k usando os valores iniciais:
k = P1V1 = 1,061,575 approx 0,0162 , atm/L
Quando a pressão chega a 2,0 atm, o volume correspondente é:
V2 = P2k = 2,00,0162 approx 123,15 , L

Passo 3

Trabalho na Primeira Etapa ( W1)
O trabalho realizado durante essa expansão é dado por:
W = integralV1^V2 P , dV = integralV1^V2 kV , dV = k [ V^22 ]V1^V2
Substituindo os valores:
W1 = 0,0162 times (123,15)^2 - (61,575)^22 approx 0,0162 times 15162,22 - 3789,052 approx 0,0162 times 5676,58 approx 91,75 , L·atm
Convertendo para joules (1 L·atm ≈ 101,325 J):
W1 approx 91,75 times 101,325 approx 9284,1 , J

Passo 4

Variação da Energia Interna na Primeira Etapa ( De)
Para um gás monoatômico, a energia interna depende apenas da temperatura:
De
Precisamos encontrar a variação de temperatura. Como P propto V, temos:
PV = k = constante Rightarrow P1 V1T1 = P2 V2T2
Substituindo P = kV na equação dos gases:
P V = nRT Rightarrow kV^2 = nRT Rightarrow T = kV^2nR
Então, a temperatura final:
T2 = k V2^2nR = 0,0162 times (123,15)^22,5 times 0,0821 approx 1200 , K
Então,
De
Portanto,
De

Passo 5

Calor na Primeira Etapa ( Q1)
Usando a primeira lei da termodinâmica:
Q = De
Então,
Q1 = 277,1 + 9284,1 approx 9561,2 , J

Passo 6

Segunda Etapa: Pressão reduzida de 2,0 atm para 1,0 atm a Volume constante
Aqui, o volume permanece constante ( V = V2 = 123,15 , L), e a pressão diminui de 2,0 atm para 1,0 atm. Como o volume é constante, o trabalho realizado é zero:
W2 = 0
Variação da Energia Interna na Segunda Etapa ( De)
Usando a equação dos gases para encontrar a temperatura final:
P V = n R T Rightarrow T = P Vn R
Temperatura inicial na segunda etapa:
T2 = 1200 , K
Temperatura final:
T3 = P3 Vn R = 1,0 times 123,152,5 times 0,0821 approx 600 , K
Então,
De
Portanto,
De
Calor na Segunda Etapa ( Q2)
Usando a primeira lei:
Q = De

Passo 7

Terceira Etapa: Volume reduzido de volta a V₁ mantendo a pressão constante em 1,0 atm
Aqui, a pressão permanece constante ( P = 1,0 , atm) e o volume diminui de V2 = 123,15 , L para V1 = 61,575 , L.
Trabalho na Terceira Etapa ( W3)
O trabalho em um processo isobárico (pressão constante) é:
W = P De
Convertendo para joules:
W3 approx -61,575 times 101,325 approx -6234,3 , J
Variação da Energia Interna na Terceira Etapa ( De)
Primeiro, encontramos a temperatura final:
T1 = 300 , K
Então,
De
Portanto,
De
Calor na Terceira Etapa ( Q3)
Usando a primeira lei:
Q = De

Resposta

Para cada etapa do processo, os valores são:
  1. Primeira Etapa:
    • De
    • W1 approx 9284,1 , J
    • Q1 approx 9561,2 , J
  2. Segunda Etapa:
    • De
    • W2 = 0 , J
    • Q2 approx -185,9 , J
  3. Terceira Etapa:
    • De
    • W3 approx -6234,3 , J
    • Q3 approx -6327,0 , J

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