A linha fundamental no espectro de ^12 C^16 O ocorre em 2143 cm^-1. Calcule o valor da constante harmônica para o monóxido de carbono.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espectros vibracionais de moléculas, especificamente do monóxido de carbono ( ^12C^16O). O enunciado nos dá a linha fundamental no espectro, que é 2143 cm^-1. Nosso objetivo aqui é calcular a constante harmônica dessa molécula, que é uma medida da rigidez da molécula durante a vibração.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a frequência vibracional ( tildenu) está relacionada à constante harmônica ( k) e à massa reduzida ( mu) da molécula pela fórmula:
tildenu = 12pi c raizkmu
Aqui, c é a velocidade da luz. Para encontrar k, vamos reorganizar essa equação.

Passo 3

Vamos começar calculando a massa reduzida ( mu) do monóxido de carbono. A massa reduzida é dada por:
mu = mC times mOmC + mO
Onde:
  • mC = 12 , u (massa do carbono)
  • mO = 16 , u (massa do oxigênio)
Convertendo unidades de massa atômica-unidade ( u) para kg:
1 , u = 1.66054 times 10^-27 , kg

Passo 4

Calculando a massa reduzida ( mu):
mu = 12 times 1612 + 16 , u = 19228 , u approx 6.857 , u
Convertendo para kg:
mu approx 6.857 times 1.66054 times 10^-27 , kg approx 1.138 times 10^-26 , kg

Passo 5

Agora, reorganizamos a fórmula da frequência vibracional para resolver k:
k = (2pi c tildenu)^2 mu
Sabemos que:
  • c = 3 times 10^10 , cm/s
  • tildenu = 2143 , cm^-1

Passo 6

Substituindo os valores na equação:
k = (2pi times 3 times 10^10 times 2143)^2 times 1.138 times 10^-26
Vamos calcular passo a passo.

Passo 7

Calculando 2pi times 3 times 10^10 times 2143:
2pi times 3 times 10^10 times 2143 approx 4.028 times 10^14 , s^-1
Elevando ao quadrado:
(4.028 times 10^14)^2 approx 1.622 times 10^29 , s^-2

Passo 8

Multiplicando pelo valor da massa reduzida:
k = 1.622 times 10^29 times 1.138 times 10^-26 , N/m approx 1.846 times 10^3 , N/m

Resposta

A constante harmônica para o monóxido de carbono é aproximadamente 1.846 times 10^3 , N/m.

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