Em uma linha de produção industrial, o óleo lubrificante é transportado através de uma tubulação principal com diâmetro interno de 2,067 in. ( De, p ) e uma velocidade média de 1,6 m / s(Ve, p ). Parte desse fluxo de óleo é desviada para uma tubulação secundária que lubrifica um conjunto de máquinas específicas. Esta tubulação secundária tem um diâmetro de 1,049 in. ( Ds, s ), onde a distribuição da velocidade é dada por v=vmax [1-(r / R)^2]. Após o desvio, a velocidade do óleo na tubulação principal, que mantém o mesmo diâmetro ( De, p ), foi reduzida para 1,0 m / s(Vs, p ). Calcule a velocidade média ( Vs, s ) e a velocidade máxima ( V máx á ) na saída da tubulação secundária, garantindo que a lubrificação das máquinas seja adequada para seu funcionamento eficiente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como o óleo lubrificante é transportado numa linha de produção industrial. Temos uma tubulação principal pela qual o óleo flui com certa velocidade, e parte desse óleo desvia para uma tubulação secundária que lubrifica máquinas específicas. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade média e a velocidade máxima do óleo na tubulação secundária para garantir que as máquinas funcionem direitinho. Vamos precisar usar conceitos de hidrodinâmica, especialmente a equação de continuidade, que nos ajuda a entender como o fluxo de um fluido se comporta quando há mudanças na velocidade ou na área da tubulação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a quantidade de óleo que passa pela tubulação principal antes e depois do desvio deve ser igual à soma do óleo que continua na principal mais o que vai para a secundária. Isso é a equação de continuidade, que diz que a massa do fluido é conservada. A equação é:
Qoriginal = Qprincipal após + Qsecundária óá
Onde:
  • é a vazão, que é a área da seção transversal da tubulação multiplicada pela velocidade do fluido.

Passo 3

Vamos começar convertendo os diâmetros das tubulações de polegadas para metros, já que as velocidades estão em metros por segundo.
Sabemos que 1 polegada é 0,0254 metros.
De,p = 2,067 , in times 0,0254 , min approx 0,05246 , m
Ds,s = 1,049 , in times 0,0254 , min approx 0,02660 , m

Passo 4

Agora, vamos calcular as áreas das seções transversais das tubulações usando a fórmula da área de um círculo:
A = pi D^24
Para a tubulação principal:
Ae,p = pi (0,05246)^24 approx 0,00216 , m^2
Para a tubulação secundária:
As,s = pi (0,02660)^24 approx 0,00056 , m^2

Passo 5

Vamos calcular a vazão original na tubulação principal antes do desvio:
Qoriginal = Ve,p times Ae,p = 1,6 , ms times 0,00216 , m^2 approx 0,00346 , m^3/s
E a vazão na tubulação principal após o desvio:
Qprincipal após = Vs,p times Ae,p = 1,0 , ms times 0,00216 , m^2 approx 0,00216 , m^3/s ó

Passo 6

Agora, usando a equação de continuidade, vamos encontrar a vazão na tubulação secundária:
Qsecundária = Qoriginal - Qprincipal após = 0,00346 , m^3/s - 0,00216 , m^3/s = 0,00130 , m^3/s áó

Passo 7

Com a vazão na tubulação secundária conhecida, podemos calcular a velocidade média Vs,s = QsecundáriaAs,s = 0,00130 , m^3/s0,00056 , m^2 approx 2,32 , ms usando a fórmula:
á

Passo 8

Agora, para encontrar a velocidade máxima v = Vmáx [1 - (rR)^2] á na tubulação secundária, precisamos lembrar que a distribuição de velocidade dada é parabólica:
Vs,s = 12 Vmáx á
Para uma distribuição parabólica desse tipo, a velocidade média é metade da velocidade máxima. Ou seja:
Vmáx = 2 times Vs,s = 2 times 2,32 , ms = 4,64 , ms á
Portanto:
á

Resposta

A velocidade média na tubulação secundária é aproximadamente e a velocidade máxima na saída da tubulação secundária é aproximadamente .

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