Em uma linha de produção industrial, o óleo lubrificante é transportado através de uma tubulação principal com diâmetro interno de 2,067 in. (
) e uma velocidade média de
). Parte desse fluxo de óleo é desviada para uma tubulação secundária que lubrifica um conjunto de máquinas específicas. Esta tubulação secundária tem um diâmetro de 1,049 in. (
), onde a distribuição da velocidade é dada por
. Após o desvio, a velocidade do óleo na tubulação principal, que mantém o mesmo diâmetro (
), foi reduzida para
). Calcule a velocidade média (
) e a velocidade máxima (
) na saída da tubulação secundária, garantindo que a lubrificação das máquinas seja adequada para seu funcionamento eficiente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como o óleo lubrificante é transportado numa linha de produção industrial. Temos uma tubulação principal pela qual o óleo flui com certa velocidade, e parte desse óleo desvia para uma tubulação secundária que lubrifica máquinas específicas. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade média e a velocidade máxima do óleo na tubulação secundária para garantir que as máquinas funcionem direitinho. Vamos precisar usar conceitos de hidrodinâmica, especialmente a equação de continuidade, que nos ajuda a entender como o fluxo de um fluido se comporta quando há mudanças na velocidade ou na área da tubulação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a quantidade de óleo que passa pela tubulação principal antes e depois do desvio deve ser igual à soma do óleo que continua na principal mais o que vai para a secundária. Isso é a equação de continuidade, que diz que a massa do fluido é conservada. A equação é:
Onde:
-
é a vazão, que é a área da seção transversal da tubulação multiplicada pela velocidade do fluido.
Passo 3
Vamos começar convertendo os diâmetros das tubulações de polegadas para metros, já que as velocidades estão em metros por segundo.
Sabemos que 1 polegada é 0,0254 metros.
Passo 4
Agora, vamos calcular as áreas das seções transversais das tubulações usando a fórmula da área de um círculo:
Para a tubulação principal:
Para a tubulação secundária:
Passo 5
Vamos calcular a vazão original na tubulação principal antes do desvio:
E a vazão na tubulação principal após o desvio:
Passo 6
Agora, usando a equação de continuidade, vamos encontrar a vazão na tubulação secundária:
Passo 7
Com a vazão na tubulação secundária conhecida, podemos calcular a velocidade média
usando a fórmula:
Passo 8
Agora, para encontrar a velocidade máxima
na tubulação secundária, precisamos lembrar que a distribuição de velocidade dada é parabólica:
Para uma distribuição parabólica desse tipo, a velocidade média é metade da velocidade máxima. Ou seja:
Portanto:
Resposta
A velocidade média na tubulação secundária é aproximadamente
e a velocidade máxima na saída da tubulação secundária é aproximadamente
.