Considere uma parede plana de espessura L=20 cm constituída de tijolos com condutividade térmica kt=0,69 W / m^* circ C. A superfície esquerda é mantida à temperatura T 0= 25^circ C enquanto a superfície direita permanece com temperatura T L=10^circ C Considerando um eixo times perpendicular às superfícies e com origem na superfície esquerda, determine, com o uso da equação da difusão de calor, a distribuição de temperatura T(x) e a densidade de fluxo de calor que atravessa a parede.
Resp.: T(x)=25^circ C-(75^circ C / m) x ; 9 - x=51,8 W /(m^wed>= 2)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma parede plana com espessura de L = 20 cm feita de tijolos que têm uma condutividade térmica de kt = 0,69 W/m°C. A temperatura na superfície esquerda é T0 = 25^circC e na superfície direita é TL = 10^circC. Precisamos determinar como a temperatura varia ao longo da parede, ou seja, T(x), e também a densidade de fluxo de calor que atravessa a parede, usando a equação da difusão de calor. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor e aplicar a equação apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fourier para condução de calor unidimensional, que nos diz que a taxa de fluxo de calor qx através de um material é proporcional ao gradiente de temperatura. A equação é:
qx = -kt dTdx
Aqui, kt é a condutividade térmica, dT/dx é a derivada da temperatura em relação à posição x, e o sinal negativo indica que o fluxo de calor vai de regiões de alta para baixa temperatura.

Passo 3

Como estamos lidando com uma parede em estado estacionário (temperaturas não variam com o tempo), o fluxo de calor qx é constante ao longo da parede. Isso significa que podemos integrar a equação para encontrar a distribuição de temperatura T(x).
Vamos rearranjar a equação para obter:
dTdx = -qxkt

Passo 4

Integrando ambos os lados da equação em relação a x, obtemos:
T(x) = -qxkt x + C
Onde C é a constante de integração que iremos determinar usando as condições de contorno fornecidas na questão.

Passo 5

Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar a constante C e o valor de qx. Sabemos que:
  • Em x = 0 (superfície esquerda), T(0) = T0 = 25^circC
  • Em x = L = 0,2 m (superfície direita), T(L) = TL = 10^circC
Substituindo x = 0 na equação de T(x):
25 = -qx0,69 cdot 0 + C Rightarrow C = 25^circC

Passo 6

Agora, substituímos C e a outra condição de contorno na equação de T(x):
10 = -qx0,69 cdot 0,2 + 25
Resolvendo para qx:
10 - 25 = -qx0,69 cdot 0,2 -15 = -qx0,69 cdot 0,2 -15 = -0,289855 cdot qx qx = -15-0,289855 approx 51,8 W/m^2

Passo 7

Com o valor de qx encontrado, podemos escrever a distribuição de temperatura T(x) substituindo qx na equação inicial:
T(x) = -51,80,69 x + 25 T(x) = -75 x + 25
Aqui, x está em metros, então para manter a unidade consistente, a expressão completa fica:
T(x) = 25^circC - (75^circCm) x

Resposta

A distribuição de temperatura ao longo da parede é dada por:
T(x) = 25^circC - (75^circCm) x
A densidade de fluxo de calor que atravessa a parede é:
qx = 51,8 W/m^2

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