Considere uma parede plana de espessura
constituída de tijolos com condutividade térmica
. A superfície esquerda é mantida à temperatura
enquanto a superfície direita permanece com temperatura
Considerando um eixo
perpendicular às superfícies e com origem na superfície esquerda, determine, com o uso da equação da difusão de calor, a distribuição de temperatura
e a densidade de fluxo de calor que atravessa a parede.
Resp.:
-
Resp.:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma parede plana com espessura de
feita de tijolos que têm uma condutividade térmica de
. A temperatura na superfície esquerda é
e na superfície direita é
. Precisamos determinar como a temperatura varia ao longo da parede, ou seja,
, e também a densidade de fluxo de calor que atravessa a parede, usando a equação da difusão de calor. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor e aplicar a equação apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fourier para condução de calor unidimensional, que nos diz que a taxa de fluxo de calor
através de um material é proporcional ao gradiente de temperatura. A equação é:
Aqui,
é a condutividade térmica,
é a derivada da temperatura em relação à posição
, e o sinal negativo indica que o fluxo de calor vai de regiões de alta para baixa temperatura.
Passo 3
Como estamos lidando com uma parede em estado estacionário (temperaturas não variam com o tempo), o fluxo de calor
é constante ao longo da parede. Isso significa que podemos integrar a equação para encontrar a distribuição de temperatura
.
Vamos rearranjar a equação para obter:
Passo 4
Integrando ambos os lados da equação em relação a
, obtemos:
Onde
é a constante de integração que iremos determinar usando as condições de contorno fornecidas na questão.
Passo 5
Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar a constante
e o valor de
. Sabemos que:
- Em
(superfície esquerda), - Em
(superfície direita),
Substituindo
na equação de
:
Passo 6
Agora, substituímos
e a outra condição de contorno na equação de
:
Resolvendo para
:
Passo 7
Com o valor de
encontrado, podemos escrever a distribuição de temperatura
substituindo
na equação inicial:
Aqui,
está em metros, então para manter a unidade consistente, a expressão completa fica:
Resposta
A distribuição de temperatura ao longo da parede é dada por:
A densidade de fluxo de calor que atravessa a parede é: