Um líquido escoa no interior de um tubo horizontal cujo raio interno é de 2,52 cm. O tubo se curva para cima até atingir uma altura de 11,5 m, onde se alarga e se acopla a outro tubo horizontal cujo raio interno é de 6,14 cm. Qual deve ser a vazão se a pressão nos dois tubos horizontais é a mesma?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um líquido que passa por dois tubos com raios diferentes e que um deles se eleva até uma certa altura. A pressão nos dois tubos horizontais é a mesma. Para resolver, vamos usar dois conceitos principais: a equação da continuidade e a equação de Bernoulli. A equação da continuidade nos ajuda a relacionar as velocidades do líquido em seções diferentes do tubo, enquanto a equação de Bernoulli nos permite relacionar as pressões, velocidades e alturas em diferentes pontos do fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar os raios dos tubos em metros para facilitar os cálculos:
  • Raio do primeiro tubo: 2,52 cm = 0,0252 m
  • Raio do segundo tubo: 6,14 cm = 0,0614 m

Passo 3

A equação da continuidade diz que a vazão Q = A1 v1 = A2 v2 deve ser a mesma em ambos os tubos. A vazão é dada por:
onde é a área da seção transversal e é a velocidade do líquido.

Passo 4

Calculamos as áreas dos dois tubos usando a fórmula da área do círculo:
A = pi r^2
Então,
A1 = pi (0,0252)^2 approx 0,001996 m² ²
A2 = pi (0,0614)^2 approx 0,011840 m² ²

Passo 5

Como v2 = A1A2 v1 = 0,0019960,011840 v1 approx 0,1685 v1 , podemos expressar em termos de :

Passo 6

Agora, aplicamos a equação de Bernoulli entre o ponto 1 (no primeiro tubo) e o ponto 2 (no segundo tubo, no topo da curva):
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Como 12 rho v1^2 = 12 rho v2^2 + rho g h2 e (tubo horizontal), simplificamos para:

Passo 7

Substituímos 12 rho v1^2 = 12 rho (0,1685 v1)^2 + rho g times 11,5 pela relação encontrada no Passo 5:
12 v1^2 = 12 times 0,0284 v1^2 + g times 11,5
12 v1^2 - 0,0142 v1^2 = 9,81 times 11,5
0,4858 v1^2 = 112,815
v1^2 = 112,8150,4858 approx 232,1
v1 approx raiz232,1 approx 15,23 m/s

Passo 8

Agora que temos Q = 0,001996 times 15,23 approx 0,03035 m³/s , calculamos a vazão usando :
³

Resposta

A vazão necessária é aproximadamente ³.

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