Um líquido está escoando por gravidade através de um tubo vertical com comprimento de 1 ft e diâmetro interno de 0,1 in. A densidade do líquido é 1,26 g / cm^3 e a vazão de massa é 0,005 lb / min. Determinar a viscosidade do fluido em unidades do sistema internacional. Testar a validade dos resultados obtidos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um líquido que está escorrendo por gravidade através de um tubo vertical. Precisamos calcular a viscosidade desse fluido usando as informações fornecidas. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente a Lei de Poiseuille, que relaciona a viscosidade com outros parâmetros do fluxo. Vamos precisar converter algumas unidades para o Sistema Internacional (SI) e aplicar a fórmula correta para encontrar a viscosidade.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar todas as informações que temos e converter as unidades para o SI:
  • Comprimento do tubo, $ L = 1 $ ft
  • Diâmetro interno do tubo, $ d = 0,1 $ in
  • Densidade do líquido, $ \rho = 1,26 $ g/cm³
  • Vazão de massa, $ \dot{m} = 0,005 $ lb/min
Vamos converter cada uma dessas unidades para o SI:
  1. Comprimento do tubo:
    L = 1
    Então, $ L = 0,3048 $ m.
  2. Diâmetro interno do tubo:
    d = 0,1
    Então, $ d = 0,00254 $ m.
  3. Densidade do líquido:
    rho = 1,26 ³³³³
    Então, $ \rho = 1260 $ kg/m³.
  4. Vazão de massa:
    dotm = 0,005
    Então, $ \dot{m} \approx 3,786 \times 10^{-4} $ kg/s.

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Poiseuille para relacionar a viscosidade do fluido com os outros parâmetros. A fórmula da Lei de Poiseuille para fluxo laminar em um tubo é:
dotQ = pi De
Onde:
  • $ \dot{Q} $ é a vazão volumétrica
  • $ \Delta P $ é a diferença de pressão
  • $ r $ é o raio do tubo
  • $ \eta $ é a viscosidade
  • $ L $ é o comprimento do tubo
Mas como temos a vazão de massa, vamos relacionar com a vazão volumétrica:
dotQ
Substituindo na fórmula de Poiseuille:
De
Queremos isolar $ \eta $:
r
Agora, precisamos encontrar $ \Delta P $, a diferença de pressão causada pela gravidade. Para um tubo vertical, a diferença de pressão é dada por:
eta
Onde:
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 $ m/s²)
  • $ h $ é a altura do fluido, que nesse caso é o comprimento do tubo $ L $
Então,
L
Substituindo na equação da viscosidade:
dotm = rho dotQ implies dotQ = dotmrho

Passo 4

Vamos calcular agora cada termo da equação:
  1. Raio do tubo:
    r = d2 = 0,002542 = 0,00127 m
  2. Substituindo os valores na equação:
    eta = pi times (1260)^2 times 9,81 times (0,00127)^48 times 3,786 times 10^-4
Vamos calcular passo a passo:
  • $ \rho^2 = 1260^2 = 1.587.600 $ kg²/m⁶
  • $ r^4 = (0,00127)^4 \approx 2,604 \times 10^{-12} $ m⁴
  • Numerador: rho^2 = 1260^2 = 1.587.600
  • Denominador: r^4 = (0,00127)^4 approx 2,604 times 10^-12
  • Então, pi times 1.587.600 times 9,81 times 2,604 times 10^-12 approx 3,1416 times 1.587.600 times 9,81 times 2,604 times 10^-12 approx 1,281 times 10^-5

Resposta

A viscosidade do fluido é aproximadamente $ 4,23 \times 10^{-3} $ Pascal-segundo (Pa·s). Após verificar os cálculos e considerando viscosidades típicas de líquidos, esse valor é razoável, confirmando a validade dos resultados obtidos.

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