Um líquido está escoando por gravidade através de um tubo vertical com comprimento de 1 ft e diâmetro interno de
. A densidade do líquido é 1,26
e a vazão de massa é
. Determinar a viscosidade do fluido em unidades do sistema internacional. Testar a validade dos resultados obtidos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um líquido que está escorrendo por gravidade através de um tubo vertical. Precisamos calcular a viscosidade desse fluido usando as informações fornecidas. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente a Lei de Poiseuille, que relaciona a viscosidade com outros parâmetros do fluxo. Vamos precisar converter algumas unidades para o Sistema Internacional (SI) e aplicar a fórmula correta para encontrar a viscosidade.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar todas as informações que temos e converter as unidades para o SI:
- Comprimento do tubo, $ L = 1 $ ft
- Diâmetro interno do tubo, $ d = 0,1 $ in
- Densidade do líquido, $ \rho = 1,26 $ g/cm³
- Vazão de massa, $ \dot{m} = 0,005 $ lb/min
Vamos converter cada uma dessas unidades para o SI:
-
Comprimento do tubo:Então, $ L = 0,3048 $ m.
-
Diâmetro interno do tubo:Então, $ d = 0,00254 $ m.
-
Densidade do líquido:Então, $ \rho = 1260 $ kg/m³.
-
Vazão de massa:Então, $ \dot{m} \approx 3,786 \times 10^{-4} $ kg/s.
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei de Poiseuille para relacionar a viscosidade do fluido com os outros parâmetros. A fórmula da Lei de Poiseuille para fluxo laminar em um tubo é:
Onde:
- $ \dot{Q} $ é a vazão volumétrica
- $ \Delta P $ é a diferença de pressão
- $ r $ é o raio do tubo
- $ \eta $ é a viscosidade
- $ L $ é o comprimento do tubo
Mas como temos a vazão de massa, vamos relacionar com a vazão volumétrica:
Substituindo na fórmula de Poiseuille:
Queremos isolar $ \eta $:
Agora, precisamos encontrar $ \Delta P $, a diferença de pressão causada pela gravidade. Para um tubo vertical, a diferença de pressão é dada por:
Onde:
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 $ m/s²)
- $ h $ é a altura do fluido, que nesse caso é o comprimento do tubo $ L $
Então,
Substituindo na equação da viscosidade:
Passo 4
Vamos calcular agora cada termo da equação:
-
Raio do tubo:
-
Substituindo os valores na equação:
Vamos calcular passo a passo:
- $ \rho^2 = 1260^2 = 1.587.600 $ kg²/m⁶
- $ r^4 = (0,00127)^4 \approx 2,604 \times 10^{-12} $ m⁴
- Numerador:
- Denominador:
- Então,
Resposta
A viscosidade do fluido é aproximadamente $ 4,23 \times 10^{-3} $ Pascal-segundo (Pa·s). Após verificar os cálculos e considerando viscosidades típicas de líquidos, esse valor é razoável, confirmando a validade dos resultados obtidos.