Lista de exercícios recomendados para o estudo de cinemática dos fluidos
Um campo de velocidade é dado por V=A x y imath+b y^2 jmath, onde A=2 m^-2 s^-1 e B= -6 m^-2 s^-1. As coordenadas x e y são em metros. Esse escoamento é uni, di ou tridimensional? Pode-se dizer que esse campo de velocidade representa um escoamento em regime estacionário? Calcule as componentes de velocidade no ponto (2,0.5). Obtenha uma expressão para a linha de corrente. Plote a linha de corrente que passa pelo ponto (2,0.5).
y=Cx^3 ; y=4x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um campo de velocidade dado por V = Axy,imath + By^2,jmath, onde A = 2 m^-2 s^-1 e B = -6 m^-2 s^-1. As coordenadas x e y estão em metros. Hoje, vamos descobrir se esse fluxo é unidimensional, bidimensional ou tridimensional, se está em regime estacionário, calcular as componentes de velocidade em um ponto específico, achar a equação da linha de corrente e, por fim, plotar essa linha de corrente. Vamos precisar de conhecimentos básicos de cinemática dos fluidos, especialmente sobre campos de velocidade e linhas de corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o fluxo é unidimensional, bidimensional ou tridimensional. Isso depende de quantas direções possuem componentes de velocidade não nulas. No nosso caso, temos componentes em imath (eixo x) e em jmath (eixo y). Não há componente na direção k (eixo z). Então, esse fluxo é bidimensional, pois se movimenta em duas direções.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o fluxo está em regime estacionário. Um fluxo é estacionário se suas propriedades não mudam com o tempo. Olhando a expressão do campo de velocidade V = Axy,imath + By^2,jmath, não há nenhuma dependência explícita do tempo t. Portanto, o fluxo está em regime estacionário.

Passo 4

Vamos calcular as componentes de velocidade no ponto (2, 0.5). A componente em x é Vx = Axy e em y é Vy = By^2.
Substituindo A = 2 m^-2 s^-1, B = -6 m^-2 s^-1, x = 2 m e y = 0.5 m:
Vx = 2 times 2 times 0.5 = 2 m/s
Vy = -6 times (0.5)^2 = -6 times 0.25 = -1.5 m/s

Passo 5

Vamos agora encontrar a equação da linha de corrente. As linhas de corrente são trajetórias que o fluido segue, e sua equação pode ser obtida relacionando as componentes de velocidade:
dydx = VyVx
Substituindo Vx = Axy e Vy = By^2:
dydx = By^2Axy = BA cdot yx
Separando as variáveis:
dyy = BA cdot dxx
Integrando ambos os lados:
ln y = BA ln x + C
Onde C é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
y = C x^BA
Substituindo A = 2 e B = -6:
y = C x^-3 = Cx^3
Então, a equação da linha de corrente é y = Cx^3.

Passo 6

Por último, vamos determinar a constante C para a linha de corrente que passa pelo ponto (2, 0.5). Substituindo na equação:
0.5 = C2^3 Rightarrow 0.5 = C8 Rightarrow C = 4
Portanto, a equação da linha de corrente que passa por (2, 0.5) é:
y = 4x^3
E aqui está o gráfico dessa linha de corrente:
Linha de Corrente
(Nota: Como não posso gerar imagens diretamente, substitua o link acima pela plotagem adequada em seu material.)

Resposta

  1. O fluxo é bidimensional.
  2. O fluxo está em regime estacionário.
  3. As componentes de velocidade no ponto (2, 0.5) são Vx = 2 m/s e Vy = -1.5 m/s.
  4. A equação da linha de corrente é y = 4x^3.

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