O peso, X , da população de pessoas de uma cidade pode ser modelado por uma distribuição Normal, X sim N(mu=85, sigma^2=9^2).
Sejam U e V duas variáveis indicadoras (Bernoulli) que são função do peso X: U=1, se X>78 e V=1, se X>82. Completar a tabela da função de distribuição conjunta.
|c||c|c||c| hline $U mid V$ & 0 & 1 & $P U(u)$ hline hline 0 & & & hline 1 & & & hline hline $P V(v)$ & & & 1 hline 0 1
0 . . .
1 . . .
. . 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve distribuição normal, que é um conceito de estatística. A ideia é modelar o peso das pessoas de uma cidade usando uma distribuição normal com média mu = 85 kg e desvio padrão sigma = 9 kg. Temos duas variáveis indicadoras, U e V, que dependem do peso X:
  • U = 1 se X > 78 kg
  • V = 1 se X > 82 kg
Nosso objetivo é completar uma tabela que mostra a distribuição conjunta dessas variáveis U e V. Para isso, vamos calcular as probabilidades de todas as combinações possíveis de U e V.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que são essas variáveis indicadoras U e V. Elas são chamadas de variáveis de Bernoulli porque podem assumir apenas dois valores: 0 ou 1. No contexto desse problema:
  • U = 1 significa que o peso da pessoa é maior que 78 kg.
  • V = 1 significa que o peso da pessoa é maior que 82 kg.
Como V = 1 implica que X > 82, e como 82 é maior que 78, toda vez que V = 1, U também será 1 (porque se alguém pesa mais que 82 kg, certamente pesa mais que 78 kg).

Passo 3

Agora, vamos calcular as probabilidades individuais dessas variáveis. Para isso, usamos a distribuição normal. A probabilidade de uma variável normal X sim N(mu, sigma^2) ser maior que um certo valor a é dada por:
P(X > a) = 1 - Phi(a - musigma)
Onde Phi é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.
Vamos calcular essas probabilidades para U e V:
  • P(U = 1) = P(X > 78)
  • P(V = 1) = P(X > 82)

Passo 4

Vamos calcular P(U = 1):
P(U = 1) = P(X > 78) = 1 - Phi(78 - 859) = 1 - Phi(-79)
Sabemos que Phi(-z) = 1 - Phi(z), então:
1 - Phi(-79) = Phi(79)
Usando uma tabela ou uma calculadora de distribuição normal, encontramos Phi(79) approx 0,7549.
Então, P(U = 1) approx 0,7549.

Passo 5

Agora, vamos calcular P(V = 1):
P(V = 1) = P(X > 82) = 1 - Phi(82 - 859) = 1 - Phi(-39) = 1 - Phi(-13)
Usando a propriedade Phi(-z) = 1 - Phi(z):
1 - Phi(-13) = Phi(13)
Aproximando, Phi(13) approx 0,6306.
Então, P(V = 1) approx 0,6306.

Passo 6

Agora, vamos preencher a tabela de distribuição conjunta. A tabela tem quatro células principais:
  1. P(U=0, V=0)
  2. P(U=0, V=1)
  3. P(U=1, V=0)
  4. P(U=1, V=1)
Sabemos que V = 1 implica U = 1, então a célula P(U=0, V=1) é impossível e é igual a 0.

Passo 7

Vamos calcular P(U=1, V=1), que é a probabilidade de X > 82:
P(U=1, V=1) = P(X > 82) approx 0,6306
Agora, P(U=1) é a soma das probabilidades onde U=1:
P(U=1) = P(U=1, V=0) + P(U=1, V=1)
Sabemos P(U=1) approx 0,7549 e P(U=1, V=1) approx 0,6306, então:
P(U=1, V=0) = P(U=1) - P(U=1, V=1) approx 0,7549 - 0,6306 = 0,1243

Passo 8

Finalmente, vamos calcular P(U=0, V=0). Sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser 1:
P(U=0, V=0) = 1 - P(U=1, V=0) - P(U=1, V=1) approx 1 - 0,1243 - 0,6306 = 0,2451

Resposta

A tabela da distribuição conjunta preenchida fica assim:
|c||c|c||c| hline U mid V & 0 & 1 & P U(u) hline hline 0 & 0,2451 & 0 & 0,2451 hline 1 & 0,1243 & 0,6306 & 0,7549 hline hline P V(v) & 0,3694 & 0,6306 & 1 hline

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