O peso, X , da população de pessoas de uma cidade pode ser modelado por uma distribuição Normal,
.
Sejam U e V duas variáveis indicadoras (Bernoulli) que são função do peso X: U=1, se
e V=1, se
. Completar a tabela da função de distribuição conjunta.
0
1
0
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1
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1
Sejam U e V duas variáveis indicadoras (Bernoulli) que são função do peso X: U=1, se
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0 | 1 |
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0 | . | . | . |
1 | . | . | . |
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. | . | 1 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve distribuição normal, que é um conceito de estatística. A ideia é modelar o peso das pessoas de uma cidade usando uma distribuição normal com média
kg e desvio padrão
kg. Temos duas variáveis indicadoras, U e V, que dependem do peso X:
- U = 1 se
kg - V = 1 se
kg
Nosso objetivo é completar uma tabela que mostra a distribuição conjunta dessas variáveis U e V. Para isso, vamos calcular as probabilidades de todas as combinações possíveis de U e V.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que são essas variáveis indicadoras U e V. Elas são chamadas de variáveis de Bernoulli porque podem assumir apenas dois valores: 0 ou 1. No contexto desse problema:
- U = 1 significa que o peso da pessoa é maior que 78 kg.
- V = 1 significa que o peso da pessoa é maior que 82 kg.
Como
implica que
, e como 82 é maior que 78, toda vez que V = 1, U também será 1 (porque se alguém pesa mais que 82 kg, certamente pesa mais que 78 kg).
Passo 3
Agora, vamos calcular as probabilidades individuais dessas variáveis. Para isso, usamos a distribuição normal. A probabilidade de uma variável normal
ser maior que um certo valor
é dada por:
Onde
é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.
Vamos calcular essas probabilidades para U e V:
Passo 4
Vamos calcular
:
Sabemos que
, então:
Usando uma tabela ou uma calculadora de distribuição normal, encontramos
.
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Usando a propriedade
:
Aproximando,
.
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos preencher a tabela de distribuição conjunta. A tabela tem quatro células principais:
Sabemos que
implica
, então a célula
é impossível e é igual a 0.
Passo 7
Vamos calcular
, que é a probabilidade de
:
Agora,
é a soma das probabilidades onde
:
Sabemos
e
, então:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular
. Sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser 1:
Resposta
A tabela da distribuição conjunta preenchida fica assim: