(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício que pede para mostrar que o transposto do transposto da matriz A é igual a A novamente, ou seja,
. Aqui, estamos trabalhando com matrizes e operação de transposição. Para resolver isso, vamos entender o que é a transposição de uma matriz e como aplicá-la duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o transposto de uma matriz. O transposto de uma matriz A, denotado por
, é uma nova matriz onde as linhas de A se tornam colunas e as colunas se tornam linhas. Por exemplo, se temos:
O transposto de A será:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transposição novamente no
. Ou seja, vamos encontrar
. Ao transpor a matriz
, estamos basicamente revertendo as linhas e colunas novamente. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, observe que:
Ao transpor
, obtemos:
Passo 4
Vimos que depois de transpor A duas vezes, retornamos à matriz original A. Isso acontece porque a operação de transposição, aplicada duas vezes, inverte as mudanças feitas na primeira transposição, trazendo a matriz de volta ao seu estado inicial.
Resposta
Portanto, mostramos que
.
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Verify the following properties of the transpose when
(d) For general
and
.