(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício que pede para mostrar que o transposto do transposto da matriz A é igual a A novamente, ou seja, . Aqui, estamos trabalhando com matrizes e operação de transposição. Para resolver isso, vamos entender o que é a transposição de uma matriz e como aplicá-la duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o transposto de uma matriz. O transposto de uma matriz A, denotado por , é uma nova matriz onde as linhas de A se tornam colunas e as colunas se tornam linhas. Por exemplo, se temos:
O transposto de A será:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transposição novamente no . Ou seja, vamos encontrar . Ao transpor a matriz , estamos basicamente revertendo as linhas e colunas novamente. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, observe que:
Ao transpor , obtemos:

Passo 4

Vimos que depois de transpor A duas vezes, retornamos à matriz original A. Isso acontece porque a operação de transposição, aplicada duas vezes, inverte as mudanças feitas na primeira transposição, trazendo a matriz de volta ao seu estado inicial.

Resposta

Portanto, mostramos que .

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Verify the following properties of the transpose when
(d) For general and .