Se A=[lla & b c & d] uma matriz 2 times 2 qualquer, mostre que
A(alpha x+beta y)=alpha A x+beta A y
para quaiquer vetores x=[lx1 x2] e y=[ly1 y2] no plano e quaisquer escalares alpha e beta reais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, dada uma matriz A(alpha x+beta y)=alpha A x+beta A y de ordem e dois vetores e no plano, além de escalares e , a seguinte igualdade vale:
Isso está relacionado com as propriedades de linearidade das matrizes, mais especificamente com a distributividade da multiplicação matricial em relação à adição de vetores e multiplicação por escalares. Para resolver, vamos usar as definições de multiplicação de matrizes por vetores e distribuir os escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = a & b c & d , x = x1 x2 , y = y1 y2 e os vetores e :

Passo 3

Vamos calcular alpha x + beta y = alpha x1 x2 + beta y1 y2 = alpha x1 + beta y1 alpha x2 + beta y2 :

Passo 4

Agora, vamos multiplicar a matriz A(alpha x + beta y) = a & b c & d alpha x1 + beta y1 alpha x2 + beta y2 = a(alpha x1 + beta y1) + b(alpha x2 + beta y2) c(alpha x1 + beta y1) + d(alpha x2 + beta y2) pelo vetor :

Passo 5

Distribuímos os termos dentro das multiplicações:
= aalpha x1 + abeta y1 + balpha x2 + bbeta y2 calpha x1 + cbeta y1 + dalpha x2 + dbeta y2

Passo 6

Fatoramos os escalares = alpha a x1 + b x2 c x1 + d x2 + beta a y1 + b y2 c y1 + d y2 e :

Passo 7

Reconhecemos que:
Ax = a x1 + b x2 c x1 + d x2 , Ay = a y1 + b y2 c y1 + d y2

Passo 8

Assim, temos:
A(alpha x + beta y) = alpha Ax + beta Ay

Resposta

Portanto, mostramos que para quaisquer vetores e no plano e quaisquer escalares e reais.

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