Se
uma matriz
qualquer, mostre que
para quaiquer vetores
e
no plano e quaisquer escalares
e
reais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, dada uma matriz
de ordem
e dois vetores
e
no plano, além de escalares
e
, a seguinte igualdade vale:
Isso está relacionado com as propriedades de linearidade das matrizes, mais especificamente com a distributividade da multiplicação matricial em relação à adição de vetores e multiplicação por escalares. Para resolver, vamos usar as definições de multiplicação de matrizes por vetores e distribuir os escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz
e os vetores
e
:
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar a matriz
pelo vetor
:
Passo 5
Distribuímos os termos dentro das multiplicações:
Passo 6
Fatoramos os escalares
e
:
Passo 7
Reconhecemos que:
Passo 8
Assim, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que
para quaisquer vetores
e
no plano e quaisquer escalares
e
reais.