Construa uma matriz A de tamanho 3 times 4 e vetores b, c in R^4 tais que A mid b é a matriz aumentada para um sistema linear inconsistente, mas A mid c é a matriz aumentada para um sistema consistente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos construir uma matriz A de tamanho 3 times 4 e dois vetores b e c no espaço R^4. A ideia é que, quando aumentamos a matriz A com o vetor b (ou seja, formamos a matriz aumentada A mid b), o sistema linear resultante seja inconsistente — ou seja, não tenha solução. Por outro lado, quando aumentamos A com o vetor c ( A mid c), o sistema deve ser consistente, ou seja, ter pelo menos uma solução.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares consistentes e inconsistentes e como a matriz aumentada funciona. Vamos dividir a resolução em passos para ficar mais tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um sistema linear ser consistente ou inconsistente.
  • Sistema Consistente: Tem pelo menos uma solução. Isso acontece quando o vetor do lado direito ( c) está dentro do espaço coluna da matriz A. Ou seja, c pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de A.
  • Sistema Inconsistente: Não tem solução. Isso acontece quando o vetor do lado direito ( b) não está dentro do espaço coluna de A. Basicamente, não dá para ajustar as variáveis para que todas as equações sejam verdadeiras ao mesmo tempo.
Então, para a gente fazer o que o exercício pede, precisamos escolher b e c de forma que um esteja dentro do espaço coluna de A e o outro não esteja.

Passo 3

Vamos construir a matriz A. Queremos que ela tenha rank menor que o número de suas linhas para que seja possível ter vetores b que não estejam no espaço coluna. Vou escolher uma matriz simples:
A = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Por quê essa matriz?
  • Ela tem tamanho 3 times 4, como o exercício pede.
  • O rank de A é 2, já que as duas primeiras colunas são lineares e as demais são colunas zero.
  • O espaço coluna de A consiste em todos os vetores de R^3 onde a terceira componente é zero.

Passo 4

Agora, vamos escolher o vetor c in R^3 de forma que ele esteja no espaço coluna de A. Uma escolha simples é:
c = 1 1 0
Por quê essa escolha?
  • A terceira componente de c é zero, então ela está no espaço coluna de A.
  • Isso garante que o sistema A mid c seja consistente, ou seja, tenha pelo menos uma solução.

Passo 5

Agora, vamos escolher o vetor b in R^3 de forma que ele não esteja no espaço coluna de A. Uma boa escolha é:
b = 0 0 1
Por quê essa escolha?
  • A terceira componente de b é 1, diferente de zero.
  • Isso significa que b não está no espaço coluna de A, já que qualquer vetor no espaço coluna de A tem a terceira componente zero.
  • Portanto, o sistema A mid b será inconsistente, sem solução.

Resposta

Uma possível solução é:
A = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 , b = 0 0 1 , c = 1 1 0
Com esses valores:
  • A matriz aumentada A mid b resulta em um sistema inconsistente.
  • A matriz aumentada A mid c resulta em um sistema consistente.

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