Construa uma matriz de tamanho e vetores tais que é a matriz aumentada para um sistema linear inconsistente, mas é a matriz aumentada para um sistema consistente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos construir uma matriz de tamanho e dois vetores e no espaço . A ideia é que, quando aumentamos a matriz com o vetor (ou seja, formamos a matriz aumentada ), o sistema linear resultante seja inconsistente — ou seja, não tenha solução. Por outro lado, quando aumentamos com o vetor (), o sistema deve ser consistente, ou seja, ter pelo menos uma solução.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares consistentes e inconsistentes e como a matriz aumentada funciona. Vamos dividir a resolução em passos para ficar mais tranquilo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um sistema linear ser consistente ou inconsistente.
Sistema Consistente: Tem pelo menos uma solução. Isso acontece quando o vetor do lado direito () está dentro do espaço coluna da matriz . Ou seja, pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de .
Sistema Inconsistente: Não tem solução. Isso acontece quando o vetor do lado direito () não está dentro do espaço coluna de . Basicamente, não dá para ajustar as variáveis para que todas as equações sejam verdadeiras ao mesmo tempo.
Então, para a gente fazer o que o exercício pede, precisamos escolher e de forma que um esteja dentro do espaço coluna de e o outro não esteja.
Passo 3
Vamos construir a matriz . Queremos que ela tenha rank menor que o número de suas linhas para que seja possível ter vetores que não estejam no espaço coluna. Vou escolher uma matriz simples:
Por quê essa matriz?
Ela tem tamanho 3 times 4, como o exercício pede.
O rank de A é 2, já que as duas primeiras colunas são lineares e as demais são colunas zero.
O espaço coluna de A consiste em todos os vetores de R^3 onde a terceira componente é zero.
Passo 4
Agora, vamos escolher o vetor c in R^3 de forma que ele esteja no espaço coluna de A. Uma escolha simples é:
c = 1 1 0
Por quê essa escolha?
A terceira componente de c é zero, então ela está no espaço coluna de A.
Isso garante que o sistema A mid c seja consistente, ou seja, tenha pelo menos uma solução.
Passo 5
Agora, vamos escolher o vetor b in R^3 de forma que ele não esteja no espaço coluna de A. Uma boa escolha é:
b = 0 0 1
Por quê essa escolha?
A terceira componente de b é 1, diferente de zero.
Isso significa que bnão está no espaço coluna de A, já que qualquer vetor no espaço coluna de A tem a terceira componente zero.
Portanto, o sistema A mid b será inconsistente, sem solução.