Classifique cada sistema abaixo em inconsistente, consistente com uma única solução ou consistente com múltiplas soluções, baseando-se nos conceitos de posto e nulidade. Se for consistente, resolva o sistema.
cx+y+w=0 2 x-y+w=0 x+y+3 z+2 w=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e quatro variáveis: , , e . Nosso objetivo é descobrir se esse sistema é inconsistente (não tem solução), consistente com uma única solução ou consistente com múltiplas soluções. Para isso, vamos usar os conceitos de posto e nulidade de uma matriz. Precisamos organizar o sistema em forma de matriz e fazer algumas operações para descobrir o posto dessa matriz.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Cada equação representa uma linha da matriz, e cada variável representa uma coluna. Ficará assim:
1 & 1 & 0 & 1 & | & 0 2 & -1 & 0 & 1 & | & 0 1 & 1 & 3 & 2 & | & 0
Aqui, os números antes da barra vertical representam os coeficientes das variáveis, e o número após a barra é o termo constante de cada equação.

Passo 3

Agora, vamos transformar essa matriz em forma escalonada usando operações elementares de linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, e somar múltiplos de uma linha a outra). O objetivo é simplificar a matriz para facilitar a identificação do posto.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
1 & 1 & 0 & 1 & | & 0 2 & -1 & 0 & 1 & | & 0 1 & 1 & 3 & 2 & | & 0
Em seguida, eliminamos o 1 & 1 & 0 & 1 & | & 0 0 & 3 & 0 & 1 & | & 0 0 & 0 & 3 & 1 & | & 0 das outras linhas:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
Resultado:

Passo 4

Continuando a simplificação, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o coeficiente de 1 & 1 & 0 & 1 & | & 0 0 & 1 & 0 & 13 & | & 0 0 & 0 & 3 & 1 & | & 0 seja 1 na segunda linha. Para isso, dividimos a segunda linha por 3:
1 & 0 & 0 & 23 & | & 0 0 & 1 & 0 & 13 & | & 0 0 & 0 & 3 & 1 & | & 0
Agora, eliminamos o da primeira linha usando a segunda linha:
  • Linha 1:
Resultado:

Passo 5

Finalmente, vamos simplificar a terceira linha para obter um coeficiente 1 para 1 & 0 & 0 & 23 & | & 0 0 & 1 & 0 & 13 & | & 0 0 & 0 & 1 & 13 & | & 0 :
  • Linha 3:
Agora, temos a matriz na forma escalonada reduzida, onde cada variável tem um coeficiente 1 e está isolada.

Passo 6

Com a matriz escalonada, podemos escrever as equações correspondentes:
x + 23w = 0 y + 13w = 0 z + 13w = 0
Observamos que a variável não foi determinada, ou seja, ela pode assumir qualquer valor real. Isso indica que o sistema tem múltiplas soluções, dependendo do valor escolhido para .

Resposta

O sistema é consistente com múltiplas soluções. As soluções gerais são:
x = -23w y = -13w z = -13w w é livre é

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