Numa loja de eletrodomésticos as vendas mensais de frigoríficos das marcas A e B são variáveis aleatórias X e Y com distribuição conjunta dada por:
X downarrow Y 1 2 3
1 0,25 0,25 0
2 0 0,25 0,25
c. Determine a covariância das variáveis X e Y. Que conclusão pode retirar acerca da independência entre as vendas das marcas A e B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre as vendas mensais de frigoríficos das marcas A e B, representadas pelas variáveis aleatórias X e Y. A gente tem uma tabela que mostra as probabilidades conjuntas dessas vendas. Nosso objetivo aqui é calcular a covariância entre X e Y e ver se isso nos ajuda a entender se as vendas das duas marcas são independentes ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é covariância. A covariância mede como duas variáveis mudam juntas. Se for positiva, quando uma aumenta, a outra tende a aumentar também. Se for negativa, quando uma aumenta, a outra tende a diminuir. Se for zero, não há relação linear entre elas.
A fórmula para calcular a covariância é:
Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]
onde $ E[XY] $ é o valor esperado do produto de X e Y, e $ E[X] $ e $ E[Y] $ são os valores esperados de X e Y, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular $ E[X] $ e $ E[Y] $ primeiro. Para encontrar o valor esperado de uma variável, somamos cada valor possível da variável multiplicado pela sua probabilidade.
Para X:
E[X]
Olhemos para a tabela e somemos as probabilidades para cada valor de X:
  • $ P(X=1) = 0,25 + 0,25 + 0 = 0,5 $
  • $ P(X=2) = 0 + 0,25 + 0,25 = 0,5 $
Então:
E[Y]

Passo 4

Agora, vamos calcular $ E[Y] $ da mesma forma:
Para Y:
E[Y]
Da tabela:
  • $ P(Y=1) = 0,25 + 0 = 0,25 $
  • $ P(Y=2) = 0,25 + 0,25 = 0,5 $
  • $ P(Y=3) = 0 + 0,25 = 0,25 $
Então:
E[Y] = sum y cdot P(Y = y)

Passo 5

Agora, vamos calcular $ E[XY] $. Isso significa que precisamos multiplicar cada valor de X pelo valor correspondente de Y, multiplicar pelo valor da probabilidade conjunta e somar tudo.
Olhemos para cada célula da tabela:
  • Quando $ X=1 $ e $ Y=1 $: $ 1 \cdot 1 \cdot 0,25 = 0,25 $
  • Quando $ X=1 $ e $ Y=2 $: $ 1 \cdot 2 \cdot 0,25 = 0,5 $
  • Quando $ X=1 $ e $ Y=3 $: $ 1 \cdot 3 \cdot 0 = 0 $
  • Quando $ X=2 $ e $ Y=1 $: $ 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0 $
  • Quando $ X=2 $ e $ Y=2 $: $ 2 \cdot 2 \cdot 0,25 = 1 $
  • Quando $ X=2 $ e $ Y=3 $: $ 2 \cdot 3 \cdot 0,25 = 1,5 $
Agora, somamos tudo:
E[XY]

Passo 6

Agora que temos $ E[X] = 1,5 $, $ E[Y] = 2 $ e $ E[XY] = 3,25 $, podemos calcular a covariância:
E[X] = 1,5

Passo 7

A covariância que encontramos é 0,25, que é um valor positivo. Isso indica que há uma tendência das vendas das marcas A e B aumentarem juntas.
Para verificar a independência das variáveis, devemos lembrar que se X e Y fossem independentes, a covariância deveria ser zero. Como a nossa covariância é 0,25, que é diferente de zero, concluímos que as vendas das marcas A e B não são independentes.

Resposta

A covariância das variáveis $ X $ e $ Y $ é 0,25. Como a covariância é diferente de zero, concluímos que as vendas das marcas A e B não são independentes.

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