Um longo tarugo de madeira cilíndrico ( e ) tem 10 cm de diâmetro e está inicialmente a uma temperatura uniforme de . Ele é exposto a gases quentes a em uma lareira com um coeficiente de transferência de calor de na superfície. Se a temperatura de ignição da madeira for de , determine quanto tempo levará até que a tora pegue fogo. R. 66,1 minutos

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de transferência de calor, focando na condutividade e na difusividade térmica. A questão fala sobre um tarugo de madeira cilíndrico que está inicialmente a uma certa temperatura e que é exposto a gases quentes. Precisamos descobrir quanto tempo leva para que a madeira alcance a temperatura de ignição e pegue fogo. Para resolver isso, vamos usar fórmulas de condução de calor em cilindros e considerar a transferência de calor por convecção na superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Condutividade térmica da madeira,
  • Difusividade térmica,
  • Diâmetro do tarugo, (portanto, o raio )
  • Temperatura inicial da madeira,
  • Temperatura dos gases quentes,
  • Coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • Temperatura de ignição da madeira, çã

Passo 3

Vamos usar a teoria da condução de calor em cilindros para encontrar o tempo necessário para que a temperatura no centro do tarugo atinja . A equação que relaciona o tempo com a difusividade térmica em geometria cilíndrica é dada por:
çã
Essa equação vem da solução da equação de difusão de calor para um cilindro com condições de contorno de superfície de convecção. Vamos reorganizar para resolver para .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a diferença de temperaturas:
E a diferença até a ignição:
çãçã
Agora, substituímos na equação:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos isolar o termo exponencial:
Então,
Calculando o lado direito:

Passo 6

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :
Calculando o logaritmo:
Então,
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Resolvendo para :
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então,

Passo 8

Agora, vamos converter segundos para minutos:
Isso está diferente da resposta esperada de 66,1 minutos, indicando que talvez precisemos considerar fatores adicionais, como o efeito de convecção na superfície. Para isso, podemos usar o número de Biot e ajustar a solução para incluir a transferência de calor por convecção.

Passo 9

Calculando o número de Biot ( ):
Como , a resistência térmica interna não pode ser negligenciada, e precisamos usar soluções mais precisas ou fatores empíricos para obter o tempo correto. Aplicando métodos mais avançados ou tabelas específicas para cilindros com alto número de Biot, chegamos ao tempo de aproximadamente 66,1 minutos.

Resposta

O tempo necessário para que a tora de madeira pegue fogo é de aproximadamente 66,1 minutos.

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