Em um lote de produção com 20 peças, X é o número de peças defeituosas no lote. Sabe-se que existe (h1+h2+h3) % para a chance de existir uma peça defeituosa no lote. (h2+h3) % é a probabilidade de existirem duas peças defeituosas e ( h3 )% representa a possibilidade de existirem três peças defeituosas em um lote. Nunca ocorrem mais que três peças com defeito em um lote.
b. Qual é a função f(x) que determina o comportamento da variável aleatória X ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um lote de 20 peças onde X representa o número de peças defeituosas. As informações que temos são as probabilidades de ter 1, 2 ou 3 peças defeituosas no lote, expressas em termos de h1, h2 e h3. Nosso objetivo é definir a função f(x), que é a função de massa de probabilidade para a variável aleatória X.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de massa de probabilidade (fmp). Ela nos dá a probabilidade de cada resultado possível de uma variável aleatória discreta. No nosso caso, X pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3, já que nunca ocorrem mais de três peças defeituosas.

Passo 3

Vamos analisar as informações fornecidas:
  • A probabilidade de ter pelo menos uma peça defeituosa é (h1 + h2 + h3)%.
  • A probabilidade de ter pelo menos duas peças defeituosas é (h2 + h3)%.
  • A probabilidade de ter exatamente três peças defeituosas é h3%.

Passo 4

Com essas probabilidades, podemos calcular as probabilidades de ter exatamente 1, 2 ou 3 peças defeituosas:
  • Probabilidade de exatamente uma peça defeituosa ( P(X=1)):
    Isso é dado pela diferença entre a probabilidade de ter pelo menos uma peça defeituosa e a probabilidade de ter pelo menos duas:
    P(X=1) = (h1 + h2 + h3)% - (h2 + h3)% = h1%
  • Probabilidade de exatamente duas peças defeituosas ( P(X=2)):
    É a diferença entre a probabilidade de ter pelo menos duas e a de ter exatamente três:
    P(X=2) = (h2 + h3)% - h3% = h2%
  • Probabilidade de exatamente três peças defeituosas ( P(X=3)):
    Já foi dada diretamente:
    P(X=3) = h3%

Passo 5

Agora, precisamos considerar a probabilidade de nenhuma peça defeituosa ( P(X=0)). Como todas as probabilidades devem somar 100%, temos:
P(X=0) = 100% - [P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)] = 100% - (h1 + h2 + h3)%

Passo 6

Com todas as probabilidades calculadas, podemos definir a função de massa de probabilidade f(x) de forma peça a peça:
f(x) = 1 - (h1 + h2 + h3)% & se x = 0 h1% & se x = 1 h2% & se x = 2 h3% & se x = 3 0 & caso contrário á

Resposta

A função f(x) que determina o comportamento da variável aleatória X é:
f(x) = 1 - (h1 + h2 + h3)% & se x = 0 h1% & se x = 1 h2% & se x = 2 h3% & se x = 3 0 & caso contrário á

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