Suponha que a duração de um telefonema, em minutos, seja uma variável aleatória exponencial com parâmetro alpha=1 / 10. Se alguém chega logo na sua frente em uma cabine telefônica, determine a probabilidade de que você tenha que espera
16a
(a) mais de 10 minutos

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o tempo que você vai ter que esperar na frente de uma cabine telefônica, onde a duração das chamadas segue uma distribuição exponencial com parâmetro alpha = 110. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de você ter que esperar mais de 10 minutos para usar a cabine.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como chamadas telefônicas chegando. A função de densidade dessa distribuição é dada por:
f(t) = alpha e^-alpha t
onde:
  • t é o tempo,
  • alpha é o parâmetro da distribuição.

Passo 3

Para calcular a probabilidade de esperar mais de 10 minutos, usamos a função de sobrevivência da distribuição exponencial, que nos dá a probabilidade de o tempo ser maior que um certo valor. A função de sobrevivência é:
P(T > t) = e^-alpha t
Essa função representa a probabilidade de o evento não ter acontecido até o tempo t.

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa fórmula para t = 10 minutos e alpha = 110.
Substituindo os valores na expressão:
P(T > 10) = e^-110 times 10 = e^-1

Passo 5

Calculando e^-1, que é aproximadamente 0,3679. Isso significa que a probabilidade de você ter que esperar mais de 10 minutos é de cerca de 36,79%.

Resposta

A probabilidade de você ter que esperar mais de 10 minutos é aproximadamente 0,!368 ou 36,8%.

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