Suponha que a duração de um telefonema, em minutos, seja uma variável aleatória exponencial com parâmetro
. Se alguém chega logo na sua frente em uma cabine telefônica, determine a probabilidade de que você tenha que espera
16a
(a) mais de 10 minutos
16a
(a) mais de 10 minutos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o tempo que você vai ter que esperar na frente de uma cabine telefônica, onde a duração das chamadas segue uma distribuição exponencial com parâmetro
. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de você ter que esperar mais de 10 minutos para usar a cabine.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como chamadas telefônicas chegando. A função de densidade dessa distribuição é dada por:
onde:
-
é o tempo, -
é o parâmetro da distribuição.
Passo 3
Para calcular a probabilidade de esperar mais de 10 minutos, usamos a função de sobrevivência da distribuição exponencial, que nos dá a probabilidade de o tempo ser maior que um certo valor. A função de sobrevivência é:
Essa função representa a probabilidade de o evento não ter acontecido até o tempo
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa fórmula para
minutos e
.
Substituindo os valores na expressão:
Passo 5
Calculando
, que é aproximadamente
. Isso significa que a probabilidade de você ter que esperar mais de 10 minutos é de cerca de 36,79%.
Resposta
A probabilidade de você ter que esperar mais de 10 minutos é aproximadamente
ou 36,8%.