Se
é uma variável aleatória uniforme no intervalo
, calcule a função densidade e função acumulada de probabilidade da variável aleatória
definida com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função densidade de probabilidade (PDF) e a função acumulada de probabilidade (CDF) da variável aleatória
, que é definida como
. Aqui,
é uma variável aleatória uniforme no intervalo
. Isso está relacionado ao estudo de transformação de variáveis aleatórias, onde a gente muda a variável para encontrar suas novas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a função acumulada de probabilidade (CDF) de
. A CDF,
, nos dá a probabilidade de
ser menor ou igual a um valor específico
.
Sabemos que
. Então,
Para resolver isso, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da desigualdade:
Como
é uniforme no intervalo
, a função acumulada de
,
, é simplesmente
nesse intervalo. Então,
Isso vale para
no intervalo
, já que
está entre 0 e 1.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função densidade de probabilidade (PDF) de
, que é a derivada da CDF em relação a
.
Portanto, a densidade de
é
para
no intervalo
.
Resposta
A função acumulada de probabilidade de
é
para
e a função densidade de probabilidade de
é
para
.