Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo (0,1), calcule a função densidade e função acumulada de probabilidade da variável aleatória Y definida com Y=e^X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função densidade de probabilidade (PDF) e a função acumulada de probabilidade (CDF) da variável aleatória , que é definida como . Aqui, é uma variável aleatória uniforme no intervalo . Isso está relacionado ao estudo de transformação de variáveis aleatórias, onde a gente muda a variável para encontrar suas novas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a função acumulada de probabilidade (CDF) de FY(y) = P(Y <= y) = P(e^X <= y) . A CDF, e^X <= y Rightarrow X <= ln(y) , nos dá a probabilidade de FY(y) = P(X <= ln(y)) = ln(y) ser menor ou igual a um valor específico .
Sabemos que . Então,
Para resolver isso, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da desigualdade:
Como é uniforme no intervalo , a função acumulada de , , é simplesmente nesse intervalo. Então,
Isso vale para no intervalo , já que está entre 0 e 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função densidade de probabilidade (PDF) de fY(y) = ddyFY(y) = ddyln(y) = 1y , que é a derivada da CDF em relação a .
Portanto, a densidade de é para no intervalo .

Resposta

A função acumulada de probabilidade de é para e a função densidade de probabilidade de é para .

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