O lucro mensal de uma empresa é dado por L= -x² + 30x -5, onde x é a quantidade mensal vendida.
a) qual o lucro mensal máximo possível?
b) entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195?
a) qual o lucro mensal máximo possível?
b) entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o lucro mensal de uma empresa, que é dado pela fórmula $ L = -x^2 + 30x - 5 $, onde $ x $ é a quantidade vendida por mês. A matéria que vamos usar aqui é funções quadráticas, e vamos precisar entender como encontrar o máximo de uma parábola e resolver inequações quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): qual é o lucro mensal máximo possível?
A função do lucro $ L(x) = -x^2 + 30x - 5 $ é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de $ x^2 $ é negativo). Isso significa que ela tem um ponto máximo.
Para encontrar esse máximo, usamos a fórmula do vértice da parábola. O $ x $ do vértice é dado por:
onde $ a = -1 $ e $ b = 30 $.
Passo 3
Vamos calcular $ x_v $:
Então, o valor de $ x $ que nos dá o lucro máximo é 15 unidades vendidas por mês.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o lucro máximo substituindo $ x = 15 $ na função $ L(x) $:
Então, o lucro máximo mensal é de R$220.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): entre que valores deve variar $ x $ para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195?
Isso significa que queremos encontrar os valores de $ x $ para os quais $ L(x) \geq 195 $.
Então, montamos a inequação:
Passo 6
Primeiro, vamos levar tudo para o lado esquerdo da inequação:
Para facilitar, vamos multiplicar os dois lados por -1 (lembrando que ao multiplicar ou dividir uma inequação por um número negativo, invertemos o sinal da desigualdade):
Passo 7
Agora, precisamos resolver a inequação quadrática $ x^2 - 30x + 200 \leq 0 $. Para isso, vamos primeiro encontrar as raízes da equação $ x^2 - 30x + 200 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
onde $ a = 1 $, $ b = -30 $, e $ c = 200 $.
Passo 8
Calculando o discriminante:
Como $ \Delta \geq 0 $, temos duas raízes reais:
Então:
Passo 9
Agora, sabemos que a parábola $ x^2 - 30x + 200 $ é “para cima” (porque $ a > 0 $), então ela estará abaixo ou igual a zero entre as raízes. Portanto, a solução da inequação $ x^2 - 30x + 200 \leq 0 $ é:
Resposta
a) O lucro mensal máximo possível é de R$220.
b) $ x $ deve variar entre 10 e 20 unidades vendidas por mês para que o lucro seja, no mínimo, igual a 195.