O lucro mensal de uma empresa é dado por L= -x² + 30x -5, onde x é a quantidade mensal vendida.
a) qual o lucro mensal máximo possível?
b) entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o lucro mensal de uma empresa, que é dado pela fórmula $ L = -x^2 + 30x - 5 $, onde $ x $ é a quantidade vendida por mês. A matéria que vamos usar aqui é funções quadráticas, e vamos precisar entender como encontrar o máximo de uma parábola e resolver inequações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): qual é o lucro mensal máximo possível?
A função do lucro $ L(x) = -x^2 + 30x - 5 $ é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de $ x^2 $ é negativo). Isso significa que ela tem um ponto máximo.
Para encontrar esse máximo, usamos a fórmula do vértice da parábola. O $ x $ do vértice é dado por:
L(x) = -x^2 + 30x - 5
onde $ a = -1 $ e $ b = 30 $.

Passo 3

Vamos calcular $ x_v $:
xv
Então, o valor de $ x $ que nos dá o lucro máximo é 15 unidades vendidas por mês.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o lucro máximo substituindo $ x = 15 $ na função $ L(x) $:
x = 15
L(x)
L(15) = - (15)^2 + 30 times 15 - 5
Então, o lucro máximo mensal é de R$220.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): entre que valores deve variar $ x $ para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195?
Isso significa que queremos encontrar os valores de $ x $ para os quais $ L(x) \geq 195 $.
Então, montamos a inequação:
x

Passo 6

Primeiro, vamos levar tudo para o lado esquerdo da inequação:
-x^2 + 30x - 5 - 195 >= 0
-x^2 + 30x - 200 >= 0
Para facilitar, vamos multiplicar os dois lados por -1 (lembrando que ao multiplicar ou dividir uma inequação por um número negativo, invertemos o sinal da desigualdade):
x^2 - 30x + 200 <= 0

Passo 7

Agora, precisamos resolver a inequação quadrática $ x^2 - 30x + 200 \leq 0 $. Para isso, vamos primeiro encontrar as raízes da equação $ x^2 - 30x + 200 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
x^2 - 30x + 200 <= 0
onde $ a = 1 $, $ b = -30 $, e $ c = 200 $.

Passo 8

Calculando o discriminante:
De
De
De
Como $ \Delta \geq 0 $, temos duas raízes reais:
De= 0
x = 30 pm raiz1002
Então:
x = 30 pm 102
x1 = 30 + 102 = 20

Passo 9

Agora, sabemos que a parábola $ x^2 - 30x + 200 $ é “para cima” (porque $ a > 0 $), então ela estará abaixo ou igual a zero entre as raízes. Portanto, a solução da inequação $ x^2 - 30x + 200 \leq 0 $ é:
x^2 - 30x + 200

Resposta

a) O lucro mensal máximo possível é de R$220.
b) $ x $ deve variar entre 10 e 20 unidades vendidas por mês para que o lucro seja, no mínimo, igual a 195.

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