(M) Um fio fino e retilíneo, carregado com uma densidade linear de carga constante lambda, é posicionado sobre o eixo de uma casca cilíndrica condutora, neutra, de raio interno a e raio externo b>a. Ambos são infinitos e o sistema se encontra em equilíbrio eletrostático.
(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pelo sistema em um ponto localizado a uma distância s do eixo, considerando as regiões (i) s, (ii) a e (iii) s>b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um fio reto e bem fininho carregado com uma densidade linear de carga constante, chamado de lambda. Esse fio está posicionado ao longo do eixo de uma casca cilíndrica condutora que é neutra e tem um raio interno a e um raio externo b, onde b é maior que a. Ambos são infinitos, o que significa que se estendem para sempre em ambas as direções. O sistema está em equilíbrio eletrostático, ou seja, as cargas estão distribuídas de forma estável.
O que a gente vai fazer é usar a Lei de Gauss, uma ferramenta super útil da eletrostática que nos ajuda a encontrar o campo elétrico gerado por distribuições de carga simétricas. Vamos calcular o vetor campo elétrico ( E) em diferentes regiões ao redor desse sistema, dependendo da distância s do eixo central:
  1. Região (i): s < a
  2. Região (ii): a < s < b
  3. Região (iii): s > b
Para isso, vamos precisar lembrar que a Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( epsilon0).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Gauss de um jeito simples. Imagine que você tem uma superfície fechada, como uma bolinha imaginária ao redor das cargas. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico ( PhiE) através dessa superfície é:
PhiE = oint E cdot dA = Qdentroepsilon0
Aqui, Qdentro é a carga total dentro da superfície e epsilon0 é uma constante que depende do meio (no vácuo, é aproximadamente 8,85 times 10^-12 , C^2/Ncdotm^2).
Como nosso sistema tem simetria cilíndrica (o fio e a casca são cilindros infinitos), a gente pode escolher uma superfície gaussiana que seja também um cilindro co-central com o fio e a casca. Isso facilita porque o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e será perpendicular à superfície lateral do cilindro.

Passo 3

Vamos analisar cada região separadamente.

Região (i): s < a

Aqui, estamos dentro da casca condutora, mas fora do fio. O raio s é menor que o raio interno a da casca. Então, a gente coloca nossa superfície gaussiana (um cilindro imaginário) dentro da casca.
Dentro da casca condutora em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Isso acontece porque as cargas na casca se redistribuem de forma que cancelam qualquer campo elétrico interno. Além disso, como a casca é neutra e o fio tem carga lambda, as cargas na casca se distribuem: uma parte negativa no interior ( - lambda) e uma parte positiva no exterior ( + lambda) para manter a neutralidade.
Portanto, para s < a:
E = 0

Região (ii): a < s < b

Agora, estamos entre o raio interno a e o raio externo b da casca. Aqui, nossa superfície gaussiana envolve o fio carregado e a carga induzida na casca.
A carga total dentro da superfície gaussiana é a carga do fio mais a carga induzida na parte interna da casca. Como a casca é neutra e a carga induzida interna é - lambda, a carga total dentro é lambda + (-lambda) = 0.
Aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = Qdentroepsilon0 = 0
Isso implica que o fluxo elétrico é zero, ou seja, o campo elétrico também é zero nessa região.
Portanto, para a < s < b:
E = 0

Região (iii): s > b

Aqui, estamos fora da casca. Nossa superfície gaussiana envolve tanto o fio quanto a casca completa. A carga total dentro da superfície gaussiana é a carga do fio mais a carga da casca. Como a casca é neutra, a carga total é apenas lambda.
Aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = Qdentroepsilon0 = lambdaepsilon0
Como o campo é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana, podemos simplificar a integral:
E cdot 2pi s L = lambdaepsilon0
Aqui, L é o comprimento infinito do cilindro, que se cancela na expressão final:
E = lambda2pi epsilon0 s
Então, para s > b:
E = lambda2pi epsilon0 s s

Resposta

O vetor campo elétrico E produzido pelo sistema é:
E = 0 & para s < a, 0 & para a < s < b, lambda2pi epsilon0 s s & para s > b

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e) A 8 m de distância da carga
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