(M) Um fio fino e retilíneo, carregado com uma densidade linear de carga constante , é posicionado sobre o eixo de uma casca cilíndrica condutora, neutra, de raio interno e raio externo . Ambos são infinitos e o sistema se encontra em equilíbrio eletrostático.
(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pelo sistema em um ponto localizado a uma distância do eixo, considerando as regiões (i) , (ii) e (iii) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um fio reto e bem fininho carregado com uma densidade linear de carga constante, chamado de . Esse fio está posicionado ao longo do eixo de uma casca cilíndrica condutora que é neutra e tem um raio interno e um raio externo , onde é maior que . Ambos são infinitos, o que significa que se estendem para sempre em ambas as direções. O sistema está em equilíbrio eletrostático, ou seja, as cargas estão distribuídas de forma estável.
O que a gente vai fazer é usar a Lei de Gauss, uma ferramenta super útil da eletrostática que nos ajuda a encontrar o campo elétrico gerado por distribuições de carga simétricas. Vamos calcular o vetor campo elétrico () em diferentes regiões ao redor desse sistema, dependendo da distância do eixo central:
Região (i):
Região (ii):
Região (iii):
Para isso, vamos precisar lembrar que a Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ().
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Gauss de um jeito simples. Imagine que você tem uma superfície fechada, como uma bolinha imaginária ao redor das cargas. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico () através dessa superfície é:
Aqui, é a carga total dentro da superfície e é uma constante que depende do meio (no vácuo, é aproximadamente ).
Como nosso sistema tem simetria cilíndrica (o fio e a casca são cilindros infinitos), a gente pode escolher uma superfície gaussiana que seja também um cilindro co-central com o fio e a casca. Isso facilita porque o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e será perpendicular à superfície lateral do cilindro.
Passo 3
Vamos analisar cada região separadamente.
Região (i):
Aqui, estamos dentro da casca condutora, mas fora do fio. O raio é menor que o raio interno da casca. Então, a gente coloca nossa superfície gaussiana (um cilindro imaginário) dentro da casca.
Dentro da casca condutora em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Isso acontece porque as cargas na casca se redistribuem de forma que cancelam qualquer campo elétrico interno. Além disso, como a casca é neutra e o fio tem carga , as cargas na casca se distribuem: uma parte negativa no interior () e uma parte positiva no exterior () para manter a neutralidade.
Portanto, para :
Região (ii):
Agora, estamos entre o raio interno e o raio externo da casca. Aqui, nossa superfície gaussiana envolve o fio carregado e a carga induzida na casca.
A carga total dentro da superfície gaussiana é a carga do fio mais a carga induzida na parte interna da casca. Como a casca é neutra e a carga induzida interna é , a carga total dentro é .
Aplicando a Lei de Gauss:
Isso implica que o fluxo elétrico é zero, ou seja, o campo elétrico também é zero nessa região.
Portanto, para :
Região (iii):
Aqui, estamos fora da casca. Nossa superfície gaussiana envolve tanto o fio quanto a casca completa. A carga total dentro da superfície gaussiana é a carga do fio mais a carga da casca. Como a casca é neutra, a carga total é apenas .
Aplicando a Lei de Gauss:
Como o campo é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana, podemos simplificar a integral:
Aqui, é o comprimento infinito do cilindro, que se cancela na expressão final: