Uma máquina enche pacotes de café com um peso que se comporta como uma variável aleatória normal, com média de 200 gramas e desvio padrão de 10 gramas.
© Uma amostra de 25 pacotes é sorteada e pergunta-se qual é a probabilidade de que o peso médio dos pacotes esteja entre 205 gramas e 210 gramas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma máquina que enche pacotes de café, e o peso desses pacotes segue uma distribuição normal com média de 200 gramas e desvio padrão de 10 gramas. Precisamos descobrir a probabilidade de que, ao escolhermos uma amostra de 25 pacotes, a média do peso desses pacotes esteja entre 205 gramas e 210 gramas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre médias amostrais e a distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando temos uma amostra de tamanho sigmabarX = sigmaraizn (nesse caso, 25 pacotes), a média dessa amostra ( ) também segue uma distribuição normal. A média dessa distribuição é a mesma da população, que é 200 gramas, e o desvio padrão da média amostral é o desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. Isso é representado pela fórmula:

Passo 3

Aplicando os valores que temos:
sigmabarX = 10raiz25 = 105 = 2
Então, a média amostral tem média 200 gramas e desvio padrão 2 gramas.

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de Z = barX - musigmabarX estar entre 205 e 210 gramas. Para isso, vamos converter esses valores para escores usando a fórmula:
Onde:
  • gramas
  • gramas

Passo 5

Calculando os escores Z1 = 205 - 2002 = 52 = 2.5 para 205 e 210 gramas:
Para 205 gramas:
Z2 = 210 - 2002 = 102 = 5
Para 210 gramas:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de P(Z < 2.5) approx 0.9938 estar entre 2.5 e 5 na tabela da distribuição normal padrão. Sabemos que a probabilidade total sob a curva normal é 1, e os valores de P(Z < 5) approx 1 maiores que 5 são praticamente nulos.
Consultando a tabela de :

Passo 7

A probabilidade de P(2.5 < Z < 5) = P(Z < 5) - P(Z < 2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062 estar entre 2.5 e 5 é a diferença entre e :

Resposta

A probabilidade de que o peso médio dos 25 pacotes esteja entre 205 gramas e 210 gramas é de aproximadamente 0,62%.

Exercícios relacionados