Uma máquina enche pacotes de café com um peso que se comporta como uma variável aleatória normal, com média de 200 gramas e desvio padrão de 10 gramas.
© Uma amostra de 25 pacotes é sorteada e pergunta-se qual é a probabilidade de que o peso médio dos pacotes esteja entre 205 gramas e 210 gramas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma máquina que enche pacotes de café, e o peso desses pacotes segue uma distribuição normal com média de 200 gramas e desvio padrão de 10 gramas. Precisamos descobrir a probabilidade de que, ao escolhermos uma amostra de 25 pacotes, a média do peso desses pacotes esteja entre 205 gramas e 210 gramas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre médias amostrais e a distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando temos uma amostra de tamanho (nesse caso, 25 pacotes), a média dessa amostra ( ) também segue uma distribuição normal. A média dessa distribuição é a mesma da população, que é 200 gramas, e o desvio padrão da média amostral é o desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. Isso é representado pela fórmula:

Passo 3

Aplicando os valores que temos:
Então, a média amostral tem média 200 gramas e desvio padrão 2 gramas.

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de estar entre 205 e 210 gramas. Para isso, vamos converter esses valores para escores usando a fórmula:
Onde:
  • gramas
  • gramas

Passo 5

Calculando os escores para 205 e 210 gramas:
Para 205 gramas:
Para 210 gramas:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de estar entre 2.5 e 5 na tabela da distribuição normal padrão. Sabemos que a probabilidade total sob a curva normal é 1, e os valores de maiores que 5 são praticamente nulos.
Consultando a tabela de :

Passo 7

A probabilidade de estar entre 2.5 e 5 é a diferença entre e :

Resposta

A probabilidade de que o peso médio dos 25 pacotes esteja entre 205 gramas e 210 gramas é de aproximadamente 0,62%.

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2 2 3 10 13 14 15 15 16 16
18 18 20 21 22 22 23 24 25 25
26 27 29 29 30 32 36 42 44 45
45 46 48 52 58 59 61 61 61 65
66 66 68 75 78 80 89 90 92 97
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