Uma máquina enche pacotes de café com um peso que se comporta como uma variável aleatória normal, com média de 200 gramas e desvio padrão de 10 gramas.
© Uma amostra de 25 pacotes é sorteada e pergunta-se qual é a probabilidade de que o peso médio dos pacotes esteja entre 205 gramas e 210 gramas?
© Uma amostra de 25 pacotes é sorteada e pergunta-se qual é a probabilidade de que o peso médio dos pacotes esteja entre 205 gramas e 210 gramas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma máquina que enche pacotes de café, e o peso desses pacotes segue uma distribuição normal com média de 200 gramas e desvio padrão de 10 gramas. Precisamos descobrir a probabilidade de que, ao escolhermos uma amostra de 25 pacotes, a média do peso desses pacotes esteja entre 205 gramas e 210 gramas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística sobre médias amostrais e a distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando temos uma amostra de tamanho
(nesse caso, 25 pacotes), a média dessa amostra (
) também segue uma distribuição normal. A média dessa distribuição é a mesma da população, que é 200 gramas, e o desvio padrão da média amostral é o desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. Isso é representado pela fórmula:
Passo 3
Aplicando os valores que temos:
Então, a média amostral
tem média 200 gramas e desvio padrão 2 gramas.
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de
estar entre 205 e 210 gramas. Para isso, vamos converter esses valores para escores
usando a fórmula:
Onde:
-
gramas -
gramas
Passo 5
Calculando os escores
para 205 e 210 gramas:
Para 205 gramas:
Para 210 gramas:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de
estar entre 2.5 e 5 na tabela da distribuição normal padrão. Sabemos que a probabilidade total sob a curva normal é 1, e os valores de
maiores que 5 são praticamente nulos.
Consultando a tabela de
:
Passo 7
A probabilidade de
estar entre 2.5 e 5 é a diferença entre
e
:
Resposta
A probabilidade de que o peso médio dos 25 pacotes esteja entre 205 gramas e 210 gramas é de aproximadamente 0,62%.